Sonsuz Toplamda Siralamanin Onemi

4 beğenilme 0 beğenilmeme
67 kez görüntülendi

Asagidaki esitlikleri gosteriniz:

1. $$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \ldots = \log 2  $$ 2.

$$ 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{3} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} - \frac{1}{14} - \frac{1}{16} + \frac{1}{5} - \frac{1}{18} - \frac{1}{20} - \ldots = \frac{3}{2} \log 2$$

Bu ornek bize elimizde sonsuz bir toplam varsa, toplamin siralamasina dikkat etmemiz gerektigini gosteriyor.

Peki hangi sartlar altinda toplamin siralamasinin onemi olmaz ve istedigimiz sirada toplayabiliriz?

23, Temmuz, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Ozgur (1,937 puan) tarafından  soruldu

${2.}$ ifadenin ${\frac{3}{2}\ln(2)}$ ye eşit olduğunu gösteren ispat yada kaynak varmı ? Yada siz gösterebilir misiniz? Bana göre iki ifade de aynı :) Ama sonsuz terim olduğunu düşününce , acaba ikiside farklı şeyler olabilirmi  diye düşünmüyor değilim :)

Kimse gostermezse birkac gun icinde ben cevaplarim. Bundan sonra soracagim soru cok daha inanilmaz gelecek buyuk ihtimalle :)

Sanırım şunu diyebiliriz, eğer toplam mutlak olarak yakınsıyorsa sıralamanın önemi kalmayacaktır.

Evet, bu da senin kullanici adinla anilan bir teorem hatta. Riemann seri teoremi. 

Geçen bir hocam şöyle bir soru sordu:

$\displaystyle \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi}{6}$ olduğuna göre, $\displaystyle \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}$ ifadesinin değeri nedir?

Ben de şöyle çözmüştüm:

$\displaystyle \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{n^2} =\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+... =\frac{\pi}{6}\\ \displaystyle \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{4n^2} =\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+... =\frac{\pi}{24}$ 

İkisini birbirinden çıkarırsak 

$\displaystyle \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{n^2}-\sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{(2n)^2} =\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+... \\\displaystyle =\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{24}=\frac{\pi}{8}$

bulunur.

Peki bu çözümüm doğru mu? Seri bence yakınsak ama yine de çok emin olamadım.

$ \large \Sigma^ \infty _ {n=1} \frac1{n^2}= \frac{\pi^2}{6}$ aslında moriartied 
...