Sonsuz Toplamda Siralamanin Onemi

Question

Asagidaki esitlikleri gosteriniz:

1. $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \ldots = \log 2$$ 2.

$$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{3} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} - \frac{1}{14} - \frac{1}{16} + \frac{1}{5} - \frac{1}{18} - \frac{1}{20} - \ldots = \frac{3}{2} \log 2$$

Bu ornek bize elimizde sonsuz bir toplam varsa, toplamin siralamasina dikkat etmemiz gerektigini gosteriyor.

Peki hangi sartlar altinda toplamin siralamasinin onemi olmaz ve istedigimiz sirada toplayabiliriz?

Comments

${2.}$ ifadenin ${\frac{3}{2}\ln(2)}$ ye eşit olduğunu gösteren ispat yada kaynak varmı ? Yada siz gösterebilir misiniz? Bana göre iki ifade de aynı :) Ama sonsuz terim olduğunu düşününce , acaba ikiside farklı şeyler olabilirmi  diye düşünmüyor değilim :)

---

Kimse gostermezse birkac gun icinde ben cevaplarim. Bundan sonra soracagim soru cok daha inanilmaz gelecek buyuk ihtimalle :)

---

Sanırım şunu diyebiliriz, eğer toplam mutlak olarak yakınsıyorsa sıralamanın önemi kalmayacaktır.

---

Evet, bu da senin kullanici adinla anilan bir teorem hatta. Riemann seri teoremi. 

---

Geçen bir hocam şöyle bir soru sordu:

$\displaystyle \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi}{6}$ olduğuna göre, $\displaystyle \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}$ ifadesinin değeri nedir?

Ben de şöyle çözmüştüm:

$\displaystyle \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{n^2} =\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+... =\frac{\pi}{6}\\ \displaystyle \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{4n^2} =\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+... =\frac{\pi}{24}$ 

İkisini birbirinden çıkarırsak 

$\displaystyle \sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{n^2}-\sum _{n=1} ^\infty \frac{1}{(2n)^2} =\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+... \\\displaystyle =\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{24}=\frac{\pi}{8}$

bulunur.

Peki bu çözümüm doğru mu? Seri bence yakınsak ama yine de çok emin olamadım.

---

$\large \Sigma^ \infty _ {n=1} \frac1{n^2}= \frac{\pi^2}{6}$ aslında moriartied