Sonsuz Toplamda Siralamanin Onemi - 2

3 beğenilme 0 beğenilmeme
145 kez görüntülendi

Suradaki soruda $$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^n}{n}$$ toplaminda, siralamayi degistirip $$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{8n + 2} - \frac{1} {8n + 4} - \frac{1}{8n+6} - \frac{1}{8n+8})$$ yaparsak toplamin $\log 2$'den $\frac{3}{2}\log 2$'ye ciktigini goruyoruz. Peki burada $\log 2$'nin bir onemi var mi? Ne de olsa iki toplamda da karsimiza cikti. Cevap veriyorum: Hayir.

Simdi, $c \in \mathbb{R}$ herhangi bir gercel sayi olsun. Bu toplamdaki sayilarin yerini oyle bir degistirebilirim, bu toplami oyle bir siralayabilirim ki toplam $c$'ye esit olur. Gosteriniz.

(Ornegin, oyle bir siralama bulabilirim ki, bu siralamayla toplam $5$'e esit olur.)

23, Temmuz, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Ozgur (2,162 puan) tarafından  soruldu

Ek: Hatta toplamı, ıraksak, daha da özel olarak, $+\infty$ veya $-\infty$  de yapabiliriz.

Ama bu her işareti için doğru değil. Burada mutlak olarak dizi ıraksadığı için böyle bir sonuç bulabiliyoruz. Mesela terimlerin mutlak değerlerinin toplamı $5$ olsaydı, her $c$ için doğru olmazdı. Ama yine de şu soruyu sorabiliriz. Bu durumda hangi reel sayılar bulunabilir. Bir önceki durum, mutlak toplamların limitinden küçük her sayı elde edilebilir idi, bu durumda da $[-5,5]$ arası her sayı elde edilebilir mi?

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Bu tür durumlar serinin şartlı yakınsamasından dolayı oluyor. Şartlı yakınsayan bir seri alıp bunu herhangi reel sayıya yakınsatalım. Serimiz şu olsun($\lim x_n=0$);
$$\mathcal U:=\displaystyle\sum_{i\in\mathbb N} x_i$$ şartlı olduğundan ;

$$\displaystyle\sum_{i\in\mathbb N} |x_i|\to \infty$$ olur. Dolayısıyla $\mathcal U$'nun tüm terimleri aynı işaretli değil ve de aynı işaretli olan 2 farklı toplamın biri $-$ sonsuza öbürü $+$ sonsuza yakınsamalı(ispat için bkz:olmayana ergi)

Bunları şöyle tanımlayalım;(f ve g'nin ayrık olan tanım aralığının birleşimi dogal sayılara eş olsun.)
$$A=\displaystyle\sum_{i\in\mathbb N} x_{f(i)}\to\infty\\B=\displaystyle\sum_{i\in\mathbb N} x_{g(i)}\to -\infty$$

$\star$Dolayısıyla $A$'nın terimleri bir zaman sonra seçilen her reel sayıdan büyük olcaktır(B'nin de küçük).

diyelim yakınsamak istediğimiz reel sayı $h$ olsun ve pozitif olsun (negatifi için de aynı yöntem uygulanır.)

$\star$ mantığından dolayı sonlu sayıda $A$ elemanı $h$'yi aşar ve belli bir $T$ reel sayısına eşit olur. Sonra sonlu $B$ terimi daha eklenirse belli bir zaman sonra $h$'nin altına düşer. Bu yöntem devam ettirilir ve tümevarımın ve arşimet prensibi yardımı ile belli bir zaman sonra(n>N iken); belli bir eklenen terim sayısından sonra $\lim x_n=0$ olduğundan $h$'tan ancak $\epsilon$ kadar uzaklaşabiliriz ($\epsilon$herhangi pozitif reel sayı) ki bu da zaten $$\forall n>N\Rightarrow \epsilon>\left|\displaystyle\sum_{i\in\mathbb N}^m x_{f(i)}+\displaystyle\sum_{i\in\mathbb N}^n x_{g(i)}-h \right|$$

demek.

Not:
$h$'ı bir üst ve bir alta giderek geçme stili yerine daha nasıl bir yöntem deneyebiliriz ve daha matematiksel nasıl gösteririz?



13, Temmuz, 2017 Anil (7,729 puan) tarafından  cevaplandı
9, Temmuz, 2018 Ozgur tarafından seçilmiş
...