Sonsuz Toplamda Siralamanin Onemi - 2

3 beğenilme 0 beğenilmeme
82 kez görüntülendi

Suradaki soruda $$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^n}{n}$$ toplaminda, siralamayi degistirip $$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{8n + 2} - \frac{1} {8n + 4} - \frac{1}{8n+6} - \frac{1}{8n+8})$$ yaparsak toplamin $\log 2$'den $\frac{3}{2}\log 2$'ye ciktigini goruyoruz. Peki burada $\log 2$'nin bir onemi var mi? Ne de olsa iki toplamda da karsimiza cikti. Cevap veriyorum: Hayir.

Simdi, $c \in \mathbb{R}$ herhangi bir gercel sayi olsun. Bu toplamdaki sayilarin yerini oyle bir degistirebilirim, bu toplami oyle bir siralayabilirim ki toplam $c$'ye esit olur. Gosteriniz.

(Ornegin, oyle bir siralama bulabilirim ki, bu siralamayla toplam $5$'e esit olur.)

23, Temmuz, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Ozgur (1,937 puan) tarafından  soruldu

Ek: Hatta toplamı, ıraksak, daha da özel olarak, $+\infty$ veya $-\infty$  de yapabiliriz.

Ama bu her işareti için doğru değil. Burada mutlak olarak dizi ıraksadığı için böyle bir sonuç bulabiliyoruz. Mesela terimlerin mutlak değerlerinin toplamı $5$ olsaydı, her $c$ için doğru olmazdı. Ama yine de şu soruyu sorabiliriz. Bu durumda hangi reel sayılar bulunabilir. Bir önceki durum, mutlak toplamların limitinden küçük her sayı elde edilebilir idi, bu durumda da $[-5,5]$ arası her sayı elde edilebilir mi?

...