$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \Big(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}2^{k/n}\Big)$ ifadesi neye eşittir?

Question

Geometrik serilerin temel özelliklerini kullanarak çözüme ulaşmak mümkün. Beni çok etkileyen bir çözümünü gördüm bu sorunun, o yüzden paylaşıyorum.

İpucu: Riemann toplamı

Comments

soruyu, doğru yazdığınızdan emin misiniz?

---

Düzelttim hocam, teşekkürler.

---

$A\subset\mathbb{R}$  olmak üzere $f: A\rightarrow\mathbb{R}$ sürekli fonksiyonu tanımlansın. Bu f fonksiyonunun tanım kümesinin bir $[a,b]$ alt aralığındaki Riemann toplamına bakalım.

$[a,b]$ aralığını n eşit parçaya bölelim. O halde $a=x_0<x_1<...<x_n=b$ olur.

$\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})$   üst Riemann toplamını oluşturalım. O halde;

$\lim_{n\to\infty}[\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})]$=$\int_{a}^{b}f(x)$   olur. Şimdi bunu soruya uyarlayalım. $[a,b]$ alt aralığı n parçaya bölündüğünden, $x_{k}-x_{k-1}=\frac{b-a}{n}$ dir.

$\int_{a}^{b}f(x)$=$\lim_{n\to\infty}[\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})(\frac{b-a}{n})]$..................(*)

Soruda verilen ifadeyle (*) ifadesini eşitleyelim.

$\lim_{n\to\infty}[\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})(\frac{b-a}{n})]$=$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}(\sum_{k=1}^{n}2^{\frac{k}{n}})$   Bunun için $b-a=1$  olmalı. 

O zaman $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}(\sum_{k=1}^{n}2^{\frac{k}{n}})$=$\lim_{n\to\infty}\frac{1-0}{n}(\sum_{k=1}^{n}2^{0+{\frac{k(1-0)}{n}}})$ yani $a=0$ olmalı. Dolayısıyla $b=1$  ve $f(x)=2^x$   dir.

Sonuç olarak;

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}(\sum_{k=1}^{n}2^{\frac{k}{n}})$=$\int_{0}^{1}2^x$=$(\frac{2^x}{\ln2})|_{0}^{1}$=$\frac{1}{\ln2}$

eğer bi yanlış yapmadıysam benim aklıma bu geldi.

Answer 1

$$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}2^{\frac{k}{n}}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-0}{n}\sum_{k=1}^{n}2^{\left(0+k\frac{1-0}{n}\right)}=\int_{0}^{1}2^xdx=\left(\frac{2^x}{\ln 2}\right)_{0}^{1}=\ldots$$

Answer 2

İntegral kullanılmadan da bu limit hesaplanabilir. L'Hospital kuralından:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2^{x}-1}{x}=\ln 2$ bulunur. O halde,

$\lim_{n\rightarrow \infty }n\left( 2^{\frac{1}{n}}-1\right) =\ln 2$ olur. 

Diğer taraftan geometrik dizi toplamından, 

$\sum_{k=0}^{n-1}2^{\frac{k}{n}}=\sum_{k=0}^{n-1}\left( 2^{\frac{1}{n}}\right) ^{k}=\frac{1}{2^{\frac{1}{n}}-1}$  bulunur.Buradan,

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}2^{\frac{k}{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n\left( 2^{\frac{1}{n}}-1\right) }=\frac{1}{\ln 2}$