sayılar teorisi

Question

$a_1,a_2,...,a_{101}$ tam sayılarının yerleriinin değişiimi $b_1,b_2,...,b_{101}$ sayıları ise $(a_1-b_1).(a_2-b_2)...(a_{101}-b_{101})$ çarpımının çift olduğunu kanıtlayınz ? 

Comments

cift veya tek derken? sayilari nerden aliyoruz? 

---

Tekrar bakabilirsnz

---

Alt indisleri {} içerisine alırsanız $01$'ler de altindis olarak görünür.

b_{101} için $b_{101}$ gibi. Süslü parantez olmazsa yalnız bir karakter altçizgiden sonra indis şeklide gösterilir. Bu yüzden de sizi $01$'ler büyümüşler!

Answer 1

Aksini varsayalım: Çarpım tek olsun. O hâlde her çarpan tek olmalıdır. O zaman her $k$ için $n_k \in\mathbb Z$ olmak üzere,  $$a_k-b_k=2n_k+1$$ yazılabilir. Bu ifâdeleri toplarsak sol taraftan $0$ gelir ki çifttir. Sağdan ise $2\sum n_k+101$ gelir ki tektir. 

Çelişki elde ettik! Demek ki çarpım çift imiş!

Comments

Yasin Şale nin güzel çözümü şöyle de yazılabilir (doğrudan ispat) :

$$\sum_{k=1}^{101}(a_k-b_k)=\sum_{k=1}^{101}a_k-\sum_{k=1}^{101}b_k=0$$  (çift) dır . 

101 (101 tek) tane tamsayının toplamı çift olduğundan hepsi birden tek olamazlar.