$a_1,a_2,...,a_{101}$ tam sayılarının yerleriinin değişiimi $b_1,b_2,...,b_{101}$ sayıları ise $(a_1-b_1).(a_2-b_2)...(a_{101}-b_{101})$ çarpımının çift olduğunu kanıtlayınz ?
cift veya tek derken? sayilari nerden aliyoruz?
Tekrar bakabilirsnz
Alt indisleri {} içerisine alırsanız $01$'ler de altindis olarak görünür.
b_{101} için $b_{101}$ gibi. Süslü parantez olmazsa yalnız bir karakter altçizgiden sonra indis şeklide gösterilir. Bu yüzden de sizi $01$'ler büyümüşler!
Aksini varsayalım: Çarpım tek olsun. O hâlde her çarpan tek olmalıdır. O zaman her $k$ için $n_k \in\mathbb Z$ olmak üzere, $$a_k-b_k=2n_k+1$$ yazılabilir. Bu ifâdeleri toplarsak sol taraftan $0$ gelir ki çifttir. Sağdan ise $2\sum n_k+101$ gelir ki tektir.
Çelişki elde ettik! Demek ki çarpım çift imiş!
Yasin Şale nin güzel çözümü şöyle de yazılabilir (doğrudan ispat) :
\[\sum_{k=1}^{101}(a_k-b_k)=\sum_{k=1}^{101}a_k-\sum_{k=1}^{101}b_k=0\] (çift) dır .
101 (101 tek) tane tamsayının toplamı çift olduğundan hepsi birden tek olamazlar.