Euler'in devamlı kesir formülü nedir?

Question

$e^x$, $ln(x)$, $\pi$ ve diğer ilginç fonksiyonların/sayıların devamlı kesirleri bu formülle nasıl hesaplanır? Bulunan devamlı kesirlerin uygulamaları nedir?

Comments

Rastgele (random) bir sayi secmek isteyelim (sonlu bir cisimden) ya da polinom secmek isteyelim. Bunu bu sayilari kullanarakdan secebiliriz. Bilgisayarlar gelisip basamak ya da derece sayisi artsa bile bu sayilarin basamaklarinda bir sinir olmadigindan kullanisliligi devam eder.

Rastgelelik de onemli: Mesela bir algoritma yazdik ve bu algoritmanin calistigini gostermek istiyoruz. Hepsi icin gostermeden bu rastgele elemanla isimizi goruruz.

Tabi basamak sayisi da onemli: eger elimizde $m$ dereceden polinom olsun istiyorsak ve $\pi$'yi sadece $n<m$ basamaga kadar biliyorsak, bu bizim icin kullanissiz olur. Demek ki ne kadar basamak o kadar kofte.

---

sergey Khrushcev' in Orthogonal polynomials and continued fractions  from Euler points of view diye bir kitabı var konuyla alakalı oldukça da güzel bir kitap kendisi bir kaç yıl  öncesine kadar Atılım üniversitesin de ders anlatıyordu

Answer 1

Basit bir devamlı kesir $a_{0}\in \Bbb{Z}$ ve $i>0$ için $a_{i}\in \Bbb{Z}^{+}$ olmak üzere 

$a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{...}}}$ formatında herhangi bir kesirdir. Kesrin belirli bir noktada bitmesi gerekmez. Bir devamlı kesrin bir noktada sonlanması için gerek ve yeter koşul devamlı kesrin bir rasyonel sayı temsil etmesidir.

Tanım: $(\textbf{Genelleştirilmiş devamlı kesir})$

$a_{i},b_{i}\in \Bbb{R}$ olmak üzere $a_{0}+\frac{b_{0}}{a_{1}+\frac{b_{1}}{a_{2}+\frac{b_{2}}{...}}}$ formatındaki sayıya genelleştirilmiş devamlı kesir denir. Burada $a_{i}$ ve $b_{i}$ ler için temel fark $b_{i}$ lerin hepsi $1$ değildir ve pozitif tamsayılara kısıtlama yapılmamıştır.

$\textbf{Euler'in devam kesir formülü}$

Herhangi bir $n\in \Bbb{N}$ için $a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+...+a_{0}a_{1}...a_{n}=\frac{a_{0}}{1-\frac{a_{1}} {1+a_{1}-\frac{a_{2}}{1+a_{2}-\frac{...}{\frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}-\frac{a_{n}}{1+a_{n}}}} }}}$ 

ile verilir. 

İspat: Tümevarım yöntemiyle görmek kolay.

Sıfır noktasında analitik olan herhangi bir fonksiyon $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$ formatında yazılabilir. Taylor seri açılımı ilginç devamlı kesirlerin ortaya çıkmasına yol açar. Kabul edelim ki; $\forall n\in \Bbb{N}$ için $f^{(n)}(0)\neq 0$ olsun. Bu durumda;

$f(x)=f(0)+f(0)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\Pi_{i=1}^{n}\frac{f^{n}(0)x}{nf^{n-1}(0)}\right)$. Bu Taylor genişleme de Euler'in devamlı kesir formülü tarafından gerekli. Bunu yapmak için;

$a_{0}=f(0)$, $a_{1}=\frac{f^{'}(0)}{1f(0)}x$, $a_{2}=\frac{f^{''}(0)}{2f^{'}(0)}x$ ve $a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{nf^{n-1}(0)}x$ ($n>1$) şeklinde seçelim. Böylece herhangi bir $f(x)$ fonksiyonu $\forall n\in \Bbb{N}$ için $f^{(n)}(0)\neq 0$ ve sıfır noktasında analitik olmak üzere $f(x)=\frac{f(0)}{1-\frac{\frac{f^{'}(0)}{f(0)}x}{1+\frac{f^{'}(0)}{f(0)}x-\frac{\frac{f^{''}(0)}{2f^{'}(0)}x}{1+\frac{f^{''}(0)}{2f^{'}(0)}x-\frac{...}{...}}    }}$

kesrin pay ve paydasını düzenlediğimizde

 

$f(x)=\frac{f(0)x}{1-\frac{f^{'}(0)x}{f(0)+f^{'}(0)x-\frac{f(0)f^{''}(0)x}{2f^{'}(0)+f^{''}(0)x-\frac{2f^{'}(0)f^{'''}(0)x}{3f^{'''}(0)+f^{'''}(0)x-...}    }    }     }$ elde ederiz.

1- $f(x)=e^{x}$ fonksiyonu her $n\in \Bbb{N}$ için $f^{(n)}(0)=1$ olduğundan ve $x=1$ alındığında

$e=\frac{1}{1-\frac{1}{1+1-\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}-...}   }       }$ devamlı kesrini elde ederiz.

Comments

$ln x$, $\pi$ ve diğer ilginç fonksiyonların devamlı kesirlerinin nasıl hesaplanacağını ve de bulunan devamlı kesirlerin uygulamalarını anladıkça cevabımı düzenleyeceğim.

---

Çok teşekkür ederim!

---

Rica ederim. Ayrıca aşağıdaki linkte yer alan makaleye göz atabilirsiniz.

http://www.math.utah.edu/~hooper/Papers/ContinuedFractionsResearchReport.pdf