Question

$\int_0^1 x^{2k}\ln^2(x)dx$ integralini tum $k \in \mathbb N$ icin hesaplayiniz. 

Comments

Esit oldugu deger ilgili soruda mevcut.

Answer 1

Cevabı burayada yazayım.

${ \int_0^1 x^{2k}\ln^2(x)dx}$

${u=ln(x)}$

${ \int_{-\infty}^0 e^{u(2k+1)} u^2 du  }$

${t=u^2 }$     ${dv=e^{u(2k+1)}}$

3 kere kısmi integral aldıktan sonra :

${\Large\frac{u^2{e^{u(2k+1)}}}{2k+1}}- {\Large\frac{2u{e^{u(2k+1)}}}{(2k+1)^2}}+{\Large\frac{2{e^{u(2k+1)}}}{(2k+1)^3}}$

${0-->-{\infty}}$

${\Large\frac{2}{(2k+1)^3}-0=\frac{2}{(2k+1)^3}}$