Question

$$\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\Xi(n,2)=\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx$$

Buradaki eşitlikte $m$ yerine $2$ verelim.Eşitlik :

$$\Xi(n,m)=\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^m}\:dx=\frac{(-1)^n}{m^{n+1}}\Gamma(n+1)\Phi\Big(-1,n+1,\frac{1}{m}\Big)$$

$$\Xi(n,2)=\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx=\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}\Gamma(n+1)\Phi\Big(-1,n+1,\frac{1}{2}\Big)$$

Lerch zeta fonksiyonunu bu özel hali için dirichlet beta fonksiyonu ile yazabilirz.

$$\Xi(n,2)=\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx=\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}\Gamma(n+1)\,2^{n+1}\beta(n+1)$$

Sadeleştirelim.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\Xi(n,2)=\int_0^1\:\frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\:dx=(-1)^n\,\Gamma(n+1)\,\beta(n+1)}}$$