İntegralimiz :
Ξ(n,m)=∫10lnn(x)1+xmdx
İntegrali kısmi türev ile yazabiliriz.
Ξ(n,m)=lims→0∂n∂sn∫10xs1+xmdx
11+xm ifadesini açalım.
Ξ(n,m)=lims→0∂n∂sn∫10xs(1−xm+x2m−x3m+⋯)dx
İfadeyi sonsuz toplam ile yazalım.
Ξ(n,m)=lims→0∂n∂sn∫10∞∑k=0(−1)nxs+mkdx
Ξ(n,m)=lims→0∂n∂sn∞∑k=0(−1)n∫10xs+mkdx
İntegrali çözelim.
Ξ(n,m)=lims→0∂n∂sn∞∑k=0(−1)nxs+mk+1s+mk+1|10
Ξ(n,m)=lims→0∂n∂sn∞∑k=0(−1)ns+mk+1
Sadeleştirelim.
Ξ(n,m)=lims→0∂n∂sn1m∞∑k=0(−1)nsm+1m+k
Seriyi lerch zeta fonksiyonu ile yazabiliriz.Ayrıntılı bilgi için buraya bakılabilir.
Ξ(n,m)=lims→0∂n∂sn1mΦ(−1,1,sm+12)
Şimdi sırayla s ye göre 1. , 2. ve n. türevleri alalım.
Ξ(n,m)=lims→0∂n−1∂sn−11m2(−1)Φ(−1,2,sm+1m)
Ξ(n,m)=lims→0∂n−2∂sn−21m3(−1)(−2)Φ(−1,3,sm+1m)
Ξ(n,m)=lims→0(−1)nmn+1Γ(n+1)Φ(−1,n+1,sm+1m)
s yerine 0 yazalım.
Ξ(n,m)=∫10lnn(x)1+xmdx=(−1)nmn+1Γ(n+1)Φ(−1,n+1,1m)n≠−1,−2,−3⋯m∈R