$x,y \in \mathcal U$ ise $x^y \in \mathcal U$ (evren-universe)

Question

$\mathcal U$ bir evren (universe) olsun.  

Gosteriniz: $x,y \in \mathcal U \implies x^y \in \mathcal U$.

Comments

Bağlam ne? $U$ neyin evreni? $x^y$ ne demek?

---

Evren $\mathcal U$ su ozellikleri saglayan kumedir:

1) $x \in y$ ve $y \in \mathcal U$ ise $x \in \mathcal U$,
2) $I \in \mathcal U$ ve $\forall i \in I \: \: x_i \in \mathcal U$ ise $\cup_{i \in I}\:  x_i \in \mathcal U$,
3) $x \in \mathcal U$ ise $\mathcal P(x) \in \mathcal U$,
4) $x \in \mathcal U$ ve $f: \: x \rightarrow y$ orten fonksiyon ise $y \in \mathcal U$,
5) $\mathbb N \in \mathcal U$ ($\mathbb N$ := sonlu ordinalerin kumesi).

$x^y$ de $x$'den $y$'ye giden tum fonksiyonlarin kumesi. Ornegin: $x^{\{0,1\}}$'i $\mathcal P(x)$ olarak gorebiliriz.

Answer 1

$x$ ve $y$ bir küme ise önce $x \times y$ 'nin de bir küme olduğunu kanıtladıktan sonra $\mathcal{P}(x \times y)$'nin elemanlarından fonksiyon olanları "axiom (schema) of specification" ile bir küme olarak elde edebilirsin (bunu yapmak için $x \times y$ 'nin bir alt kümesinin fonksiyon olmasını sağlayan özellikleri bir formül ile ifade edip $\mathcal{P}(x \times y)$'nin bu formülü sağlayan elemanlarını bir kümeye topluyorsun).