d1:(R∖{0})2→R, d1(x,y)=∣x−y∣
ve
d2:(R∖{0})2→R, d2(x,y)=∣1x−1y∣
olmak üzere
d:(R∖{0})2→R, d(x,y)=d1(x,y)+d2(x,y)
ise Bd(1,2)={x∣d(x,1)<2, x∈R∖{0}}=?
Soru: |x−1|+|1x−1|<2 esitsizligini saglayan x degerleri.Eleme ve Simetri: x<0 icin cozumu yok (asikar). x≥1 ise 1x≤1 ve 1x≥1 ise x≤1. O nedenle x≥1 icin cozmek yeterli.Yeni soru: x−1x<2'yi saglayan x degerleri.Ek bilgi: Turevi 1+1x2>0 yani fonksiyon keskin artan. Yepyeni soru: x−1x=2 ve x≥1 ise x kactir?Cevap: ortaogretim kategorisinden bir soru bu. x=√2+1 olmali. (ve (√2+1)−1=√2−1).Asil sorunumuzun cevabi: √2−1≤x≤√2+1.
d(x,1)=d1(x,1)+d2(x,1)<2
|x−1|+|1x−1|<2
|x−1|.|x|+|x−1|<2|x|→|x−1|[|x|+1|]<2 olur.
1) x<0 için (-x+1)(-x+1)<-2x \rightarrow x^2+1<0 bu mümkün değildir.
2)0<x<1 iken (-x+1)(x+1)<2x \rightarrow x^2+2x-1>0 dan 0<x<\sqrt2-1 olur.
3)x\geq1 iken x^2-1<2x \rightarrow x^2-2x-1<0 dan 1\leq x<1+\sqrt2 olacaktır.
Dolayısıyla B_d(1,2)=\{x:(0,\sqrt2-1)U[1,1+\sqrt2+1)\} olmalıdır.