Komşuluk

Question

$$d_1:(\mathbb{R}\backslash \{0\})^2\rightarrow \mathbb{R}, \,\ d_1(x,y)=\mid x-y \mid$$

ve

$$d_2:(\mathbb{R}\backslash \{0\})^2\rightarrow \mathbb{R}, \,\ d_2(x,y)=\mid \frac1x-\frac1y\mid $$

olmak üzere

$$d:(\mathbb{R}\backslash \{0\})^2\rightarrow \mathbb{R}, \,\ d(x,y)=d_1(x,y)+d_2(x,y)$$

ise $$B_d(1,2)=\{x\mid d(x,1)<2, \,\ x\in \mathbb{R}\backslash \{0\} \}=?$$

Answer 1

Soru: $|x-1|+|\frac 1x-1|<2$ esitsizligini saglayan $x$ degerleri.
Eleme ve Simetri: $x<0$ icin cozumu yok (asikar). $x\geq 1$ ise $\frac 1x \leq 1$ ve $\frac 1x\geq 1$ ise $x \leq 1$. O nedenle $x\geq1$ icin cozmek yeterli.

Yeni soru: $x-\frac 1x <2$'yi saglayan $x$ degerleri.
Ek bilgi: Turevi  $1+\frac 1{x^2}>0$ yani fonksiyon keskin artan. 

Yepyeni soru: $x-\frac 1x=2$ ve $x\geq 1$ ise $x$ kactir?
Cevap: ortaogretim kategorisinden bir soru bu. $x=\sqrt2+1$ olmali. (ve $(\sqrt2+1)^{-1}=\sqrt{2}-1$).


Asil sorunumuzun cevabi: $\sqrt2-1 \leq x \leq \sqrt2+1$.

Answer 2

$d(x,1)=d_1(x,1)+d_2(x,1)<2$

$|x-1|+|\frac{1}{x}-1|<2$

$|x-1|.|x|+|x-1|<2|x|  \rightarrow |x-1|[|x|+1|]<2$ olur. 

1) $x<0 için  (-x+1)(-x+1)<-2x \rightarrow x^2+1<0$ bu mümkün değildir.

2)$0<x<1 $ iken $(-x+1)(x+1)<2x   \rightarrow x^2+2x-1>0 $  dan $0<x<\sqrt2-1$ olur.

3)$x\geq1$ iken $x^2-1<2x   \rightarrow x^2-2x-1<0$ dan $1\leq x<1+\sqrt2$ olacaktır.

Dolayısıyla $B_d(1,2)=\{x:(0,\sqrt2-1)U[1,1+\sqrt2+1)\}$ olmalıdır.