Tıkız Metrik Uzayları hayal etmek

Question

Tıkız metrik uzayları nasıl hayal edebiliriz? Sonlu yuvarlarla kaplandıklarında yuvarların bir kısmı dışarıda kalacakmış vehmine kapılıyorum. Yanlış, evet ama bir türlü canlandıramıyorum bu uzayı zihnimde. Tam "ne güzel, artık hayal edebiliyorum" demişken bir hocam Cantor kümesinin de tıkız olduğunu söylüyor ve Jo Dalton'a dönüşüyorum.

Answer 1

$I=[0,1]$ olmak üzere çarpım topolojisi ile $I^{\mathbb{N}}$ topolojik uzayını oluşturalım. Bu uzaya Hilbert küpü denir.

Teorem: Her tıkız metrik uzay Hilbert küpünün kapalı bir alt kümesine homeomorfiktir.

Yani Hilbert küpünü ve kapalı alt kümelerini hayal etmemizi kolaylaştıracak güzel bir "resim" bulmak yeterli. Bunun için aklınıza bir yöntem geliyor mu?

Comments

Yalnız şöyle bir sorun var. Kantor kümesi halihazırda $[0,1]$ içinde. Bir şeyi hayal edebilmek parçalarını hayal edebilmek demek değil.

Hayal etmek üzerinden itiraz ettiğime inanamıyorum ama oldu işte bi kere.

---

Soru sanki Cantor kümesi hayal etmesi zor bir topolojik uzaymış gibi sorulmuş ancak Cantor kümesinin Cantor uzayına (yani $2^{\mathbb{N}}=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$'ye) homeomorfik olduğu göz önüne alınırsa bence Cantor kümesi daha "resmi çizilebilir" uzaylardan.

Zira yüksekliği sonsuz olan bir tam ikili ağaç (full binary tree) hayal edip ağacın dallarını Cantor uzayının elemanları ile eşleştirirsek mevzubahis topolojiyi üreten metrik iki dalın birbirinden ayrıldığı yükseklik üzerinden kolayca tanımlanabiliyor.

Bir de Cantor kümesini toz parçası gibi gözüküyor diye dışlamamak lazım. Yukarıdaki teoremin kardeş teoremi olarak şu da doğrudur ki her tıkız metrik uzay Cantor kümesinin bir sürekli görüntüsüdür. Yani Cantor uzayı tıkız metrik uzayların "babası" konumunda =).

---

Cantor kümesini küçümsiyorum canım. Haşa :)

---

Henüz matematiksel tıfıl olduğumdan Cantor kümesini aralıklı noktalar yığını gibi düşünüyordum.

Answer 2

Her türlü gerçeği içinde barındıracak bir imge mümkün değil. Ne demiş şair: Matematik anlaşılmaz, matematiğe alışılır. Ama illa hayal etmek istiyorsan, Turgut Özal tıkızdı, Erdal İnönü değildi!

Answer 3

Hayal et etmesine ama hayal etme biçimimiz de önemli. Öncelikli olarak topoloji denilen nanenin yerel bilgiler bütünü olduğunu akılda tutmak gerek. Yani bir anlamda yerel olarak hayal etmek anlamlı. Şimdi gelelim tıkız uzay meselesine. Aslında yukarıdaki politik örnek yerinde bir örnek. Turgut Özal'a baktığın zaman ne görüyorsun? Kısa boylu ama ufacık yere çok fazla yağ tıkıştırılmış. Kısaca, tıkışık. Kümenin içindekiler sağa sola öyle çok serpilmemiş (birbirinden çok uzak şeyler olabilir elbette, yerel olarak tıkışıklar).

Buradan ne anlıyoruz, hayal etmek her zaman güzel değilmiş. İnsan kendini Turgut Özal'ı hayal ederken buluyor.