$e$ sayısıyla ilgili

Question

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+{\frac{1}{n}}\right)^n$  ifadesi neden $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ toplamına eşittir?

Comments

$e$ sayısının tanımını 

$$e:=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\ldots (1)$$

şeklinde yapalım.

$$e^x:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ şeklinde tanımlanır. $x=1$ için 

$$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\ldots (2)$$

olur. O halde 

$$(1),(2)\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$$ bulunur.

Answer 1

$e$ sayısının tanımını 

$$e:=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\ldots (1)$$

şeklinde yapalım.

$$e^x:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ şeklinde tanımlanır. $x=1$ için 

$$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\ldots (2)$$

olur. O halde 

$$(1),(2)\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$$ bulunur.

Comments

Bunu ben de biliyorum hocam görmesi kolay :). Ben başka bişey sormak istemiştim.. e sayısı $e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ olarak tanımlanıyor evet. O halde $e^x$ ifadesi de $e^x=\left(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}$ oluyor değil mi? benim sormak istediğim $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ eşitliği nasıl oluyor. e sayısı $e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ olarak tanımlanmışken hangi işlemler sonucu e yi tekrar $e=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ olarak tanımlayabilmişiz?

---

https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz_1.pdf

kafana takılan soru için faydasını göreceğini düşündüğüm Ali hocanın analiz 1 kitabı..:) bi incele istersen..

---

Elimde bütün kitapları var teşekkür ederim yine de :) Soruyu sorma amacım bilmediğimden değil. Bilgi yaymak amaçlı :) :)

---

$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k$

$=\binom{n}{0}x^0+\binom{n}{1}x^1+\binom{n}{2}x^2+\binom{n}{3}x^3+\dots+\binom{n}{n-1}x^{n-1}+\binom{n}{n}x^n$

$=1+\frac{n}{1!}x+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\dots+\binom{n}{n-1}x^{n-1}+\binom{n}{n}x^n$

$x=\frac{1}{n}$ koyalim

$(1+\frac{1}{n})^n=1+\frac{1}{1!}+\frac{(n-1)}{2!n}+\frac{(n-1)(n-2)}{3!n^2}+\dots+\binom{n}{n-1}(\frac1n)^{n-1}+\binom{n}{n}(\frac1n)^n$

$=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{-1}{2!n}+\frac{1}{3!}+\frac{-3}{3!n}+\frac{2}{3!n^2}+\dots+\binom{n}{n-1}(\frac1n)^{n-1}+\binom{n}{n}(\frac1n)^n$

$e=\lim_{n \rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n\\$ $=\lim_{n \rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{-1}{2!n}+\frac{1}{3!}+\frac{-3}{3!n}+\frac{2}{3!n^2}+\dots+\binom{n}{n-1}(\frac1n)^{n-1}+\binom{n}{n}(\frac1n)^n \right)$

$=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$

---

teşekkür ederim