Tümevarım

Question

${\{1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4,....., 1+2+...+n}\}$kümesinin elemanlarının toplamı $165$ olduğuna göre $n$ kaçtır?

Answer 1

Bu kümenin elemanları $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$ şeklindedir. Bizden istenen $\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^n\frac{k(k+1)}{2}=\frac12\sum_{k=1}^n(k^2+k)=\frac12.\frac{n.(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n.(n+1)}{4}=165$ Buradan 

$n(n+1)(2n+1)+3n.(n+1)-12.165=0$ Eğer işlem hatası yapmadıysam sonuç bu denklemin çözümüdür. 

$n(n+1)(2n+4)=2^2.3^2.5.11$ den $n=9$  olacaktır.