Question

$x^5+y^5=3x^2y^2$ eğrisinin ilmeğinin alanını bulunuz.
Eğrinin ilmeği aşağıdaki gibidir.

 

Comments

$x=rcos\theta$,  $y=rsin\theta$ dönüşümü ile $r=\dfrac{3cos^2\theta. sin^2\theta} {cos^5\theta+sin^5\theta} $ olur. Çift katlı integral ile aranan alan $1,8$ br kare çıkıyor.

---

Çözümünü yazabilirsen iyi olur @alpercay (ben o sayının yarısını buldum).

---

Hocam eğri $y=x$ doğrusuna göre simetrik olduğundan $\theta =0$ dan $\theta=\pi/4$ e kadar integre edip sonucu $2$ ile çarptım. Tekrar bakayım.

Answer 1

$f(x, y) =x^5+y^5-3x^2y^2=f(y,x)=0$ olduğundan eğri $y=x$ doğrusuna göre simetriktir.

$x=r\cos\theta $ ve $y=r\sin\theta $ kutupsal dönüşümleri ile $$r=\dfrac {3\cos^2\theta\cdot \sin^2\theta } {\cos^5\theta +\sin^5\theta } $$ olur.

$E^*=\{(r, \theta) : 0\le r\le \dfrac {3\cos^2\theta \cdot \sin^2\theta }{\cos^5\theta + \sin^5\theta }, \ \ 0\le\theta \le\pi/4\} $

$S(E) =2\iint\limits_{E^*} rdrd\theta=\int_0^{\pi/4}\left(\dfrac{3\cos^2\theta\cdot \sin^2\theta }{\cos^5\theta +\sin^5\theta }\right) ^2d\theta =\int_0^{\pi/4}\dfrac{9\cos^4\theta\cdot \sin^4\theta}{(\cos^5\theta +\sin^5\theta) ^2}d\theta $

Pay ve payda $\cos^{10}\theta $ ile bölünürse

$S(E)=9\cdot \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^4\theta\cdot \sec^2\theta }{(1+\tan^5\theta) ^2}d\theta $

$u=1+\tan^5\theta$ dönüşümü yapılırsa

$S(E)=\dfrac 95\int_1^2 \dfrac{du} {u^2}=0,9$ birim kare bulunur.