Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
483 kez görüntülendi

$y=x$ ile $y=4x-x^2$ arasinda kalan bolgenin $x=7$ dogrusu etrafinda dondurilmesiyle olusan cismin hacmini bulun.

 

Uğraştığım şekilde atıyorum bir yol izledim fakat güzel bi sonuç elde edemedim doğru yoluda çıkartamadım

Lisans Matematik kategorisinde (31 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 483 kez görüntülendi
Parabolun kokleri 0 ve 4 degil mi, Gerci size kesisim lazim oda x=3 olacak. Yani tarli alan x=0 ile x=3 arasinda. Iki fonksiyon arasindaki bolgenin donme eksenine uzakligi 7-x olacak.
peki taralı alanı bulmak için büyük alana sahip eğriden küçük alanlı eğiyi çıkarıcamki aradaki kesişim yerni bulayım iki eğriyi denklemde hem birbirinden çıkartıp hemde 7-x ile nasıl çarpcam tam denklemi kuramadım

$V=2\pi \int_0^3 (7-x)[f(x)-g(x)]dx $bu şekildemi bi denklem oluşcak
Pardon latex şeklinde yazmaya çalıştımda neden o şekilde yazmadı

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

 


 

Kabuk yontemi daha uygun olur bu soru icin. Siyah dikey cizgi silindirin yuksekligini $h(x)$ verir

 

$V=2\pi\displaystyle\int_0^3r(x)h(x)dx=2\pi\displaystyle\int_0^3(7-x)[f(x)-g(x)]dx=2\pi\displaystyle\int_0^3(7-x)[(4x-x^2)-(x)]dx$

 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Biraz ugrastirmakla beraber Disk yontemiyle de cozleim.

Donme ekseni $y$ eksenine paralel oldugundan, integralimiz $y$ ye bagli olacak ve sinirlar $y$ ekseni uzereinde alinacak. $R(y)$ donme eksenine en uzak  dis yaricapi ve $r(y)$ ic yaricapi gostersin. Integral 0 dan 4'e degisirken tarali alan farkli fonksiyonlarin arasinda kaldigindan integrali iki kisma ayirmamiz gerekli.

 

 

 

Oncelikle  fonksiynlarimiz $y$'ye bagli yazalim.

$y=x\implies x=y$

$y=4x-x^2\implies x=2-\sqrt{4-y} $   (grafikteki kirmizi fonksiyon) ve $x=2+\sqrt{4-y}  $    (grafikteki mavi fonksiyon)

 

$V=\pi\displaystyle\int_c^d\Big[ [R(y)]^2-[r(y)]^2\Big]dy$ dir.

$V=\pi\displaystyle\int_1^3\Big[ [R(y)]^2-[r(y)]^2\Big]dy+\pi\int_3^4\Big[ [R(y)]^2-[r(y)]^2\Big]dy$

$=\pi\displaystyle\int_1^3\left[\left(7-(2-\sqrt{4-y})\right)^2-(7-y)^2\right]dy\\\quad+\pi\displaystyle\int_3^4\left[\left(7-(2-\sqrt{4-y})\right)^2-\left(7-(2+\sqrt{4-y})\right)^2\right]dy$

$=\pi\displaystyle\int_1^3\left[\left(5+\sqrt{4-y}\right)^2-(7-y)^2\right]dy\\\quad+\pi\displaystyle\int_3^4\left[\left(5+\sqrt{4-y}\right)^2-\left(5-\sqrt{4-y}\right)^2\right]dy$

 

 

 

(2.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
çok teşşekür ederim tamda yaptığınız yoruma göre denklem kurdum aynısıydı daha size sormamla denklemi aşşağıda gördüm çok teşşekür ederim efendim
Ökkeş hocam elinize sağlık. Her zaman olduğu gibi grafikler şahane.

Disk yöntemi ile hesaplamada $V$ için yazdığınız formülden sonraki ilk satırda, ilk integralin sınırları neden $0$'dan $3$ e değil. Bir de hemen sonrasındaki integralde $\pi$ çarpanı sanırım unutulmuş.
Evet, hemen duzeltiyorum. Tesekkurler uyariniz icin..
19,468 soru
21,189 cevap
71,133 yorum
27,346 kullanıcı