Copeland-Erdös sayısının içinde her sonlu rakam dizisinin bulunduğunu gösteriniz.

Question

Copeland-Erdös sayısı şöyle tanımlanır:

(10 tabanında) $0,2357111317192329\cdots$ (virgülden sonra, tüm asal sayılar sırayla yazılmış)

Her $n$ pozitif doğal sayısı için, $n$ terimli rakam dizisinin basamaklı her doğal sayının, bu sayının ondalık basamakları arasında bulunduğunu gösteriniz.
EK: (Sorunun başlığına uygun olarak) solda sıfırlar da olabileceği için böyle yazmak istedim.

Comments

Hocam bu sayı 10 luk tabanda normal olduğundan iddianın doğru olduğunu direkt söyleyemez miyiz?

Normal sayı tanımı https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number

Aşkın ve normal sayılar hakkında bir yazı https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=683.0;attach=3472

---

Evet ama, lisans düzeyinde, daha basit (etiket bir ipucu) bir çözümü var

Answer 1

Bir $s$ tam sayısı için $\boxed{\boxed{s}\boxed{1}}$ sayısı $10^{2+\lfloor \log_{10} s\rfloor}$ ile aralarında asaldır. Dirichlet teoremi gereği (sonsuz tane olsa da) bir $t$ tam sayısı için $\boxed{\boxed{t}\boxed{s}\boxed{1}}$ asaldır.
___________________________________________________________
(alpercay'ın yorumu) Daha net anlaşılması adına:

Dirichlet teoremi gereği $a+n.d$ aritmetik dizisinde $(a,d)=1$ olmak üzere sonsuz sayıda asal bulunur. Herhangi bir rakam dizisini alalım. Bu dizinin sonuna $1$ eklediğimizde ($(a,d)=1$ koşulunu garantilemek için) oluşan sayıya $a$ diyelim ve bu sayının basamak sayısı $k$ olmak üzere dizinin ortak farkı $d=10^k$ sayısı olsun. Dirichlet teoremi gereği bu dizi bir asal sayı içerecektir ve bu asal sayı tanım gereği Copeland-Erdös sayısının basamakları arasında görünecektir. Örneğin $684$ sayısı için $a=6841$,  ve  $d=10^4$ alarak oluşturulan $6841,16841,26841,...$ dizisi Dirichlet teoremi gereği en az bir asal içermelidir.

Comments

Sondaki $1$ aralarında asallığı garantilemek için sanırım.

---

Aynen. $42$ olsa aralarında asal olmaz. Bunun yerine $421$ olarak $42$yi görmeyi deneme.

---

Peki $n$ terimli rakam dizisi  $0$  ile başlarsa ne  yapacağız?

---

Tamam, bu sefer başına $1$ yazacağız, sonuna da $1$. Yani dizi örneğin $000$ ise $10001$ olacak ve $\ mod   10^5$ te bu sayıya denk olan asal sayılara bakacağız.

---

Direkt düzenleme adına $00024$ gibi ise $241$ ile $10^6$ için bakarız.
Zaten bu hali hazırda $100024$ için çalışıyor. $00024$ de içerilmiş olur.

---

Daha net anlaşılması adına:

Dirichlet teoremi gereği $a+n.d$ aritmetik dizisinde $(a,d)=1$ olmak üzere sonsuz sayıda asal bulunur. Herhangi bir rakam dizisini alalım. Bu dizinin sonuna $1$ eklediğimizde ($(a,d)=1$ koşulunu garantilemek için) oluşan sayıya $a$ diyelim ve bu sayının basamak sayısı $k$ olmak üzere dizinin ortak farkı $d=10^k$ sayısı olsun. Dirichlet teoremi gereği bu dizi bir asal sayı içerecektir ve bu asal sayı tanım gereği Copeland-Erdös sayısının basamakları arasında görünecektir. Örneğin $684$ sayısı için $a=6841$,  ve  $d=10^4$ alarak oluşturulan $6841,16841,26841,...$ dizisi Dirichlet teoremi gereği en az bir asal içermelidir.

---

(tşk) Cevabın içine ekledim.

---

Teşekkürler Sercan hocam.