Question

$n$ adet konveks $k-gen$  bir düzlemi en fazla kaç bölgeye ayırabilir? (Örneğin 2 adet üçgen bir düzlemi en fazla 8 bölgeye ayırabilir.)

Answer 1

Bu konveks k-genlerin kenar uzunlukları eşit ve düzgün olduklarını düşünmek sonuç açısından bir şeyi değiştirmez diye düşündüm. Bu düzgün k-genlerin  tamamının; köşeleri aynı çevrel çemberin üzerinde ve köşeleri ile merkezlerinin çakışık olduklarını düşünelim. Şimdi herbirini bir öncekine göre saatin dönüş yönünde ve 360/(n+1) derecelik bir açı ile (merkezleri sabit kalacak) şekilde döndürelim..İkinci k-genin her kenarı ilk k-genin iki kenarını keseceğinden bu ikisi bulundukları düzlemi 2.k+2 farklı bölğeye ayıracaktır. Aynı şekilde 3. k-genin  önceki bölgelerin herbirini ikiye bölecek ve ilave olarak 2k tane yeni bölge oluşturacaktır. Yani 3. k-genin döndürülmesinden sonra düzlem $2.2k+2k +2=2^2k+2k+2$ ayrık bölgeye parçalanacaktır. Benzer şekilde devam edilirse n.  k-gen sonrasında düzlem     $2^{n-1}k+2^{n-2}k+2^{n-3}k+...+k+2$ farklı bölgeye parçalanacaktır.

Comments

Mehmet Toktaş hocam formül sanırım yanlış sonuç veriyor. Mesela n=2 üçgen (k=3) düzlemi en çok 8 bölgeye ayırmalı.

Sizin verdiğiniz formüle göre 11 bölge bulunur.

---

Evet. Biraz daha düşünmeliyim.

Answer 2

Öncelikle $2$ adet $k$-gen için düşünürsek bu  $k$-genlerin her bir kenarının diğer $k$-genin her bir kenarını en çok $2$ noktada kestiğini (konveks çokgenin iç bölgesine girerken ve çıkarken) gözlemleyebiliriz. Buna göre toplam kesişme noktası sayısı $2k$ olmalıdır. Şimdi $n$ tane $k$-gen alırsak toplam kesişme noktası sayısı $2k\cdot C(n,2)=kn(n-1)$ olur. Bu kesişme noktaları, oluşan düzlemsel graf için yeni köşe noktaları anlamına gelir. Yani başlangıçta toplamda $nk$ köşe varken çokgenlerin kesiştirilmeleri sonucunda toplam köşe sayısı $V=nk+kn(n-1)$ olur. Burada önemli bir gözlem de her bir kesim noktasının grafa $2$ yeni kenar daha eklediğini görmek. Bu durumda başlangıçta $nk$ kenar varken son durumdaki kenar sayısı $E=nk+2\cdot kn(n-1)$ olmalı. Şimdi Euler formülünü çalıştırırsak oluşan bölge sayısı $$V-E+F=2$$   $$nk+kn(n-1)-nk-2kn(n-1)+F=2$$    $$F=2+kn(n-1)=2+2k\cdot C(n,2)$$ olarak bulunur.

Comments

Ya kesişim noktalarını ideal olarak oluşturamazsak ve bu üst sınırı elde edemezsek? Üst sınırın sağlanacağını nasıl gösteririz?

---

Kesişim noktalarının ideal olarak oluşacağını varsayıyoruz; yani kenarların biribirine paralel olmayacağı, kesişimin gerçekleşmesi için çokgen boylarını ayarlayabileceğimiz, bunları uygun konumlandırabileceğimiz vs. gibi varsayımlarımız var. Kenarları doğrular gibi düşünürsek bunların oluşturacağı bölge sayısı sonlu olacağından herhangi bir üst sınır da var zaten.

Answer 3

ahmedsyldz' a ait bir çözüm:

Öncelikle hiçbir kenarı çakışık olmayan iki konveks $n$-gen birbiriyle en fazla $2n$ noktada kesişebilir (Her kenarın karşısında bir köşenin bulunduğu durum). Şimdi $k$ adet $n$-gen ile bir düzlemin en fazla kaç bölgeye ayrılabileceğini veren bir $F(n, k)$ fonksiyonu oluşturalım.
$F(n, m)$'i bildiğimizi varsayıp $F(n, m+1)$'i inceleyelim. $m+1.$ $n$-gen kendinden önceki $n$-genlerin hepsini en fazla $2nm$ noktada kesebilir ve kestiği her noktadan sonra geçtiği bölgeyi ikiye ayıracağından 1 adet bölge artışı olur. Yani:
$F(n, m+1) = F(n, m) + 2nm$ olur ve
$F(n, 2) - F(n, 1) = 2n.1$
$F(n, 3) - F(n, 2) = 2n.2$
$\vdots$
$F(n,k) - F(n, k-1) = 2n.(k-1)$
Teleskobik toplamından ($F(n, 1) = 2$ olduğundan) $F(n, k) = nk(k-1) + 2$ gelir.