En küçük dereceli polinom

Question

$p(\sqrt2+\sqrt3) =\sqrt3 +1$ eşitliğini sağlayan rasyonel katsayılı en küçük dereceli polinom için $p(3)$ nedir?

Answer 1

$\sqrt 3$ gereği $0$. dereceden ​olamaz.
$\sqrt 2$ gereği $1$. dereceden ​olamaz.
​​​​​​​$\sqrt 6$ gereği $2$. dereceden ​olamaz.

$(\sqrt3+\sqrt2)^3=9\sqrt3+11\sqrt2$ olduğundan $$-\frac12(x^3-11x)+1$$ istenen tarzda bir polinom olur.

Üçüncü dereceden bu özelliği sağlayan başka bir polinom olursa $\sqrt3+\sqrt2$ derecesi $4$ten küçük (sıfır olmayan) rasyonel katsayılı bir polinomun kökü olur. Bu da mümkün değil.

​​​​​​​Bu nedenle derecesi dörtten küçük ve istenen şartı sağlayan polinom biriciktir ve üstteki polinomdur.

$3$ noktasindeki değeri ise $4$tür.
​​​​​​

Answer 2

$p(\sqrt2+\sqrt3) =\sqrt3 +1$

$x=\sqrt2+\sqrt3$

$x^3=9\sqrt3+11\sqrt2$

$11x-x^3=2\sqrt3$

$\sqrt3=\dfrac{11x-x^3}{2}$
$p(x) =\dfrac{11x-x^3}{2}+1$
 $p(3)=4$

Answer 3

$p(\sqrt2+\sqrt3) =\sqrt3 +1$

$(\sqrt2+\sqrt3) ^3=9\sqrt3+11\sqrt2=11(\sqrt2+\sqrt3)-2\sqrt3-2+2$

$(\sqrt2+\sqrt3) ^3=11(\sqrt2+\sqrt3)-2(\sqrt3+1)+2=11(\sqrt2+\sqrt3)-2p(\sqrt2+\sqrt3)+2$

$p(\sqrt2+\sqrt3) =\dfrac{-1}{2}(\sqrt2+\sqrt3)^3+\dfrac{11}{2}(\sqrt2+\sqrt3)+1$

$p(x) =\dfrac{-1}{2}x^3+\dfrac{11}{2}x+1$

$p(3)=4$

Answer 4

Metin Aydemir'in çözümü:

 

$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ olsun. $\sqrt{2}$'yi yok edelim. $$(x-\sqrt{3})^2=2\implies x^2+1=2x\sqrt{3}\implies \frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+1=\sqrt{3}+1$$ elde ederiz. Dolayısıyla, $$p(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+1\implies 2xp(x)-(x+1)^2=0$$ denkleminin kökünün $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ olması gerekir. Kökü $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ olan bir polinom bulalım. $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ için $$x^2=5+2\sqrt{6}\implies (x^2-5)^2=24\implies x^4-10x^2+1=0$$ olacağından $x^4-10x^2+1$ polinomunun bir kökü $\sqrt{2}+\sqrt{3}$'dür. Sabit terimi eşitleyerek, $$2xp(x)-(x+1)^2=-x^4+10x^2-1\implies p(x)=-\frac{1}{2}(x^3-11x-2)$$ elde edilir. Bunun elde edilecek en küçük dereceli polinom olduğunu görmek için $p$'nin $0.,1.,2.$ dereceden olduğu kabul edilip çözüm gelmediği görülebilir. $$p(3)=-\frac{1}{2}(3^3-11\cdot 3-2)=4$$ bulunur.