Metin Can Aydemir'in benzer/ayrıntılı çözümü:
2(√5−√3)=4√5+√3 olduğundan verilen eşitliği sağlayan bir polinom için P(x)=4x polinomunun bir kökü √5+√3'dür. Dolayısıyla da x=√5+√3 sayısı Q(x)=xP(x)−4 polinomunun bir köküdür.
Normalde Field Theory'e göre farklı p,q asalları için √p ve √q'nun rasyonel katsayılı minimal polinomları x2−p ve x2−q olmak üzere 2. dereceden olduğundan √p+√q'nun rasyonel katsayılı minimal polinomu 2⋅2=4. dereceden ve polinomun kendisi de (x+√p+√q)(x+√p−√q)(x−√p+√q)(x−√p−√q) olmalıdır. Bunu bilgi olarak buraya bırakıyorum ve daha basit yollarla çözüme devam ediyorum.
√5+√3'ün kök olduğu en küçük dereceli Q polinomunu arıyoruz. √5+√3'ün √3'e göre eşleniği olan √5−√3'ü de kullanırsak, (x−√5−√3)(x−√5+√3)=(x−√5)2−3=x2−2√5x+2 polinomunu elde ederiz. √5'i yok etmek içinse polinomu eşleniğiyle çarparsak (x2−2√5x+2)(x2+2√5x+2)=(x2+2)2−20x2=x4−16x2+4 elde ederiz. √5+√3, bu polinomun kökü olduğundan Q polinomu 4. dereceden olabilir. Birinci veya ikinci dereceden olamayacağı kolaylıkla görülebilir. Üçüncü dereceden x3+ax2+bx+c polinomunu deneyelim. Katsayılar rasyonel olduğundan başkatsayıyı 1 kabul edebiliriz. x3+ax2+bx+c|x=√5+√3=2a√15+(14+b)√5+(18+b)√3+8a+c=0 elde edilir ancak √5 ve √3 aynı anda yok edilemeyeceği için uygun bir polinom yoktur. Yani Q, en az 4. derecedendir. x4+ax3+bx2+cx+d için incelersek 1,√3,√5,√15'in katsayılarını sıfıra eşitleyeceğimizden elimizde 4 değişkenli, 4 lineer denklem olacaktır ve tek çözümü de x4−16x2+4 bulunacaktır. Dolayısıyla, 4. dereceden olup, √5+√3'ün de kökü olduğu tüm rasyonel katsayılı polinomlar k∈Q−{0} olmak üzere Q(x)=k(x4−16x2+4) formatındadır. Q(0)=0P(0)−4=−4 olduğundan k=−1'dir. Buradan −x4+16x2−4=xP(x)−4⟹P(x)=16x−x3 elde edilir. P(2)=24 bulunur.