Question

$\cos\left(\dfrac\pi7\right)+\cos\left(\dfrac{3\pi}7\right)+\cos\left(\dfrac{5\pi}7\right)=\dfrac12$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Sol tarafa $s$ dersek ve örüntüsel olarak iç payı $1,3,5,7,9,11,13$ olacak sekilde toplarsak, $\cos\pi=-1$ ve $\cos(2\pi-a)=\cos a$ gereği   $$2s-1=\sum_{i=1}^7\cos\left(\dfrac{2i-1}7\pi\right)=0$$ eşitliğini elde ederiz. Son eşitliği $x^7+1$'in kökler toplamına bakarak bulabiliriz.

Answer 2

Dirichlet çekirdeği olarak bilinen $$D_{n}(x)=\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}=1+2\sum_{k=1}^{n}\cos(kx)=\dfrac{\sin(n+1/2)x}{\sin(x/2)}$$ eşitliğinde $n=3,x=2\pi/7$ yazılırsa sağ taraf $0$ olacağından $$\cos(2\pi/7) + \cos(4\pi/7) + \cos(6\pi/7) =-1/2$$ $$\cos(\pi/7) + \cos(3\pi/7) + \cos(5\pi/7) =1/2$$

Answer 3

Barış Demir'e ait sentetik  bir çözüm :

Comments

Ben de bu güzel çözümü bir yerde görünce bu soruyu sordum

---

Hocan yeni farkettim; bu soru 1963 Umo sorusuymuş ($\cos\pi/7+\cos3\pi/7-\cos2\pi/7=1/2$ olduğunu gösteriniz diye sorulmuş)

Answer 4

$7x=2k\pi$ dersek $\cos4x=\cos3x$ $$2\cos^22x-1=4\cos^3x-3\cos x$$ $$2(2\cos^2x-1)^2-1=4\cos^3x+3\cos x$$ $$8\cos^4x-4\cos^3x-8\cos^2x+3 \cos x+1=0$$ Denklemin katsayılar toplamı $0$ olduğundan köklerden biri $1$ olmalı. Buna göre,    $$(\cos x-1)(8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1)=0$$ $\cos x-1\ne0$ olduğundan $$8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1=0$$ Bu denklemin kökleri $\cos2\pi/7,\cos4\pi/7$ ve $\cos6\pi/7$ olup kökler  toplamından $$\cos2\pi/7+\cos4\pi/7+\cos6\pi/7=-1/2$$   $$\cos\pi/7+\cos3\pi/7+\cos5\pi/7=1/2$$ bulunur.

$\cos5\pi/7=-\cos2\pi/7$ olduğundan $$\cos\pi/7+\cos3\pi/7-\cos2\pi/7=1/2$$ olarak da yazılabilir(1963 Umo sorusu).

Answer 5

$$f(x)=\cos x+\cos 3x+\cos 5x$$ diyelim. O zaman

$$\begin{array}{rcl} f(x)\cdot \sin2x & = & \cos x\cdot\sin 2x+\cos 3x\cdot\sin 2x+\cos 5x\cdot\sin 2x \\ \\ & = & \frac12[\sin(x+2x)-\sin(x-2x)] \\ & & \phantom{abcd}+\frac12[\sin(3x+2x)-\sin(3x-2x)] \\ & & \phantom{abcefgh}+\frac12[\sin(5x+2x)-\sin(5x-2x)] \\ \\ & = & \frac12(\sin3x+\sin x+\sin5x-\sin x+\sin7x-\sin 3x) \\ \\ & = & \frac12(\sin5x+\sin7x)\end{array}$$ olur. Buradan da $$f(x)=\frac{\sin 5x+\sin 7x}{2\sin 2x}$$ bulunur. Şimdi $x=\dfrac{\pi}{7}$ yazılırsa

$$\begin{array}{rcl} f\left(\dfrac{\pi}{7}\right) & = & \dfrac{\sin \frac{5\pi}{7}+\sin\frac{7\pi}{7}}{2\sin\frac{2\pi}{7}}  =  \dfrac{\sin \frac{5\pi}{7}}{2\sin\frac{2\pi}{7}} =  \dfrac{\sin \left(\pi-\frac{2\pi}{7}\right)}{2\sin\frac{2\pi}{7}}  =  \dfrac{\sin\frac{2\pi}{7}}{2\sin\frac{2\pi}{7}}  =  \dfrac12\end{array}$$ elde edilmiş olur.

Answer 6

Çözümde burada kanıtlanan $\cos\pi/7\cdot\cos2\pi/7\cdot\cos3\pi/7=1/8$ eşitliğini kullanacağız.

$$(\cos2\pi/7+\cos4\pi/7)+\cos6\pi/7=(2\cos3\pi/7\cdot\cos\pi/7)+2\cos^23\pi/7-1$$   $$=2\ (\cos(3\pi/7))(\cos\pi/7+\cos3\pi/7)-1$$ $$=4\cos\pi/7\cdot\cos2\pi/7\cdot\cos3\pi/7-1=4\cdot1/8-1=-1/2$$   Dolayısıyla $$\cos2\pi/7+\cos4\pi/7+\cos6\pi/7=-1/2$$  olduğundan $$\cos\pi/7+\cos3\pi/7+\cos5\pi/7=1/2$$ bulunur. (veya 1963 Umo sorusu olarak $\cos\pi/7+\cos3\pi/7-\cos2\pi/7=1/2$ )