Question

$\sqrt{\dfrac{3^8+5^8+34^4}2} $ sayısını hesaplayınız (Çok ünlü bir üniversitenin giriş sınavında sorulduğu belirtilmiş)

Answer 1

$3^8+5^8+34^4=9^4+25^4+34^4=9^4+25^4+(9+25)^4$ olur.

Bundan sonra, daha genel bir eşitlik elde edeceğiz. $a,b\in\mathbb{R}$ olsun.

$\frac12\left(a^4+b^4+(a+b)^4\right)=\frac12(a^4+b^4+a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4)$

 $=(a^2)^2+(b^2)^2+(ab)^2+2(a^2b^2+a^3b+ab^3)=(a^2+b^2+ab)^2$

Bu eşitlikten $(\forall a,b\in\mathbb{R}$ için $a^2+b^2+ab\geq0$ olduğundan$)$,

$\sqrt{\dfrac{a^4+b^4+(a+b)^4}2}=a^2+b^2+ab$

$ \sqrt{\dfrac{3^8+5^8+34^4}2}=9^2+25^2+9\cdot25=931$

Comments

$\forall a,b\in\mathbb{R}$ için $a^2+b^2+ab\geq0$ olduğu şöyle görülebilir:
$ab\geq0$ ise
$a^2+b^2+ab\geq0$ apaçıktır.
$ab<0$ ise ($-ab>0$ olur)
$(a+b)^2\geq0\Rightarrow a^2+b^2+ab\geq-ab\Rightarrow a^2+b^2+ab>0$ olur.

---

Sorunun kaynağı nedir hocam?

---

Youtube da biri (hatırladığım kadarı ile,) "Cambridge Üniversitesi Matematik Bölümü giriş sınavı sorusu" diyerek çözmüş (bu benim çözümüm, oradaki çözümü görmedim, buna benzerdir sanırım). Tekrar arayınca bulamadım. Bulabilirsem linkini yazarım.

Answer 2

\begin{align*} 3^8+5^8+34^4&=9^4+25^4+(9+25)^4\\ &=9^4+(16+9)^4+(9+16+9)^4\\ &=9^4+(2\cdot 9+7)^4+(3\cdot 9+7)^4\\ &=9^4\cdot (1+(2+a)^4+(1+2+a)^4)\ ,\ a=7/9\\ &=9^4\cdot (1+a^4+(1+a)^4)\, , \,b=2+a=25/9\\ &=9^4\cdot \left(1+b^4+b^4+4b^3+6b^2+4b+1\right)\\ &=9^4\cdot \left(2+2b^4+4b^3+6b^2+4b\right)\\ \dfrac{3^8+5^8+34^4}{2}&=9^4\cdot \left(1+b^4+2b^3+3b^2+2b\right)\\ &\ldots \end{align*}

$1+b^4+2b^3+3b^2+2b=b^4+b^2+1+2(b^3+b^2+b)=(b^2+b+1)^2$  $$\sqrt{\dfrac{3^8+5^8+34^4}{2}}=81(625/81+25/9+81/81)=625+225+81=931$$