Kenarlardan nokta seçerek üçgeni dört eşit alana bölme (ispat)

Question

Bir ABC üçgeninin AB, BC. AC kenarları üzerinde sırasıyla alınan X, Y, Z noktaları ile oluşturulan AXZ, BXY, CZY, XYZ üçgenlerinin alanları eşitse X, Y, Z noktalarının bulundukları kenarların orta noktaları olduğunu gösteriniz.
Ben Sinüslü alan formulunden denedim fakat yapamadım. Yardımcı olur musunuz?

Comments

A s t
B x y
C u v
 olarak ayırırsan 4sx=AB gibi eşitlikler gelecek. Bunları kullanmayı denedin mi?

---

Denemedim hocam.

.

Answer 1

Çözüm geomania sitesinden matematikolimpiyadı kullanıcısına aittir.

$|BX|=a$, $|XC|=b$, $|CY|=c$, $|YA|=d$, $|AZ|=e$, $|ZB|=f$ olsun. Sinüslü alan formülünü kullanarak alan oranı yazarsak

$\dfrac{Alan(BZX)}{Alan(ABC)}=\dfrac{\dfrac12 \cdot a \cdot f \cdot \sin \angle CBA}{\dfrac12 \cdot (a+b) \cdot (f+e) \cdot \sin \angle CBA}=\dfrac14 \implies 4af=(a+b)(f+e) \implies ae+bf+be=3af$ elde ederiz.

Şimdi ise Aritmetik Orta-Geometrik Orta eşitsizliğini kullanarak

$af=\dfrac{ae+bf+be}{3} \geq \sqrt[3]{b^2e^2af} \implies a^3f^3 \geq b^2e^2af \implies a^2f^2 \geq b^2e^2 \implies af \geq be$ yazabiliriz. Diğer üçgenlerin oranlarından da $ed \geq fc$ ve $bc \geq ad$ olur.

Bu son üç eşitsizliği taraf tarafa çarptığımızda ise $abcdef \geq abcdef$ buluruz ki bu da tüm eşitsizliklerin eşitlik olacağı anlamına gelir. Buradan da $a=b$, $c=d$ ve $e=f$ sonucuna ulaşırız.

Answer 2

Şekil eklemek isteyen olursa hayır demem.

(A)  $a=s+t$ olarak $S=2s/a$ ve $T=2t/a$ olmak üzere   $S+T=2$ olur.
(B)  $b=x+y$ olarak $X=2x/b$ ve $Y=2y/b$ olmak üzere $X+Y=2$ olur.
(C)  $c=u+v$ olarak $U=2u/c$ ve $V=2v/c$ olmak üzere $U+V=2$ olur.
olarak ayırırsak (döngüsel sıralama x,y,v,u,t,s)
$4sx=ab$
$4yv=bc$
$4tu=ac$
eşitliklerini ede ederiz.

Buradan
$2\dfrac sa=\left(2\dfrac xb\right)^{-1}$
$2\dfrac yb=\left(2\dfrac vc\right)^{-1}$
$2\dfrac uc=\left(2\dfrac ta\right)^{-1}$
yani 
$S=\dfrac1X, \qquad Y=\dfrac1V, \qquad U=\dfrac1T$
eşitlikleri sağlanır.

Taraf tarafa toplar ve düzenersek

$$\left(X+\dfrac1X-2\right)+\left(V+\dfrac1V-2\right)+\left(T+\dfrac1T-2\right)=0$$ yani $$\dfrac{(X-1)^2}{X}+\dfrac{(V-1)^2}{V}+\dfrac{(T-1)^2}{T}=0$$ bize $X=V=T=1$ olduğunu ve dolayısıyla $Y=U=S=1$ olduğunu ve   $$\dfrac sa=\dfrac ta=\dfrac xb=\dfrac yb=\dfrac uc=\dfrac vc=\dfrac12$$ olduğunu verir.

Comments

Bu S+T=2 ler ve S=1/X ler için farklı çözümleri görmek için bir soru açılabilir. Daha büyük genellemesi vs.

Answer 3

$|BC|=a$, $|BY|=b$, $|BX|=c$, ve $|AZ|=m$ olsun. Sadece bir kenar için orta nokta olduğunu gösterelim; diğerleri benzer şekilde yapılabilir.

$Alan(BXY)=Alan(ABC)/4$ olduğundan $b.c=a.|AB|.\dfrac 14$  ve buradan $|AB|=\dfrac{4bc}{a}$ olur.

$Alan(AXZ)=Alan(ABC)/4$ ise  $|AX|.|AZ|=(\dfrac{4bc}{a} -c)m=\dfrac{4bc}{a}.\dfrac{|AC|}{4}$  ve buradan $|AC|=\dfrac{(4b-a)m}{b}$

$Alan(CYZ)=Alan(ABC)/4$ ise $|CZ|.|CY|=(\dfrac{(4b-a)m}{b}-m)(a-b)=\dfrac{(4b-a)m}{b}.a.\dfrac 14$ eşitliği düzenlenirse $$a^2-4ab+4b^2=0$$   $$(a-2b)^2=0$$  yani $a=2b$ olacağından $Y$ noktası $[BC]$ kenarının orta noktasıdır. Benzer olarak $X$ ve $Z$ noktalarının da bulundukları kenarların orta noktaları oldukları gösterilebilir.