$m(\widehat{A})=3\cdot m(\widehat{B})$ olan $ABC$ üçgeni

Question

Kenar uzunlukları birer tam sayı ve $m(\widehat{A})=3\cdot m(\widehat{B})$ olan $ABC$ üçgeninin çevresinin alabileceği en küçük değer kaçtır?  (Lokman Gökçe)

Notlar:

1. Problem, Mathematical Assocation of America (MAA) bünyesindeki Mathematics Magazine (MM) dergisinde Ekim 2017 sayısında 2026 problem numarasıyla basılmıştır. İlgili sayfa ektedir.

2. $m(\widehat{A})=2\cdot m(\widehat{B})$ olan $ABC$ üçgeninin kenarları arasındaki bağıntı burada incelenmişti. Bu türde, kenarları tam sayı olan en küçük çevreli üçgenin kenarları $4,5,6$ uzunluklarına sahiptir.

Answer 1

$|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c$ diyelim. $[BC]$ üzerinden bir $E$ noktasını $\angle EBA=\angle EAB$ olacak biçimde alalım. Bu halde $|CE|=|CA|=b$ ve $|AE|=|EB|=a-b$ olur.
Stewart teoremini uygularsak:

 

$|AE|^{2}=\dfrac{|AC|^{2}\cdot |BE|+|AB|^{2\cdot }|CE|}{|BC|}-|BE|\cdot |EC|$

 

$$(a-b)^{2}=\dfrac{b^{2}\cdot (a-b)+c^{2}\cdot b}{a}-(a-b)\cdot b$$

 

olup

 

$$\qquad \qquad (a-b)^{2}(a+b)=c^{2}b \tag{1}$$

 

eşitliğini elde ederiz. Şimdi $\dfrac{a}{b}=k,$ ($k>1$ rasyonel sayı) diyelim. $(1)$ den,

$(k-1)^{2}(k+1)b^{2}=c^{2}$ buluruz. Böylelikle,

 

$\qquad \qquad c=(k-1)\sqrt{k+1}b, \quad a=kb \tag{2}$

 

elde ederiz ve $k+1$ bir rasyonel sayının karesi olmalıdır. Bazı $m,n$ tam sayıları için $k+1=\left( \dfrac{m}{n}% \right) ^{2}>2$ yazılır. Diğer taraftan, üçgen eşitsizliğinden

 

$a<b+c, \quad c<a+b$

 

olur. $(2)$ eşitliğiyle beraber üçgen eşitsizliği bize

 

$$(k-1)\sqrt{k+1}<k+1$$

 

eşitsizliğini verir ve böylece

 

$\qquad \qquad 1<k<3 \tag{3}$

 

elde edilir. $a,b,c$ nin en küçük değerleri için $m=3,n=2$ seçmeliyiz. Buradan,

 

$k=\dfrac{5}{4}, a=\dfrac{5}{4}b, c=\dfrac{3}{8}b$

 

olur. Şimdi en küçük değer olarak $b=8$ alabiliriz ve $a=10,c=3$ buluruz. Böylece tam sayı kenarlı $ABC$ üçgeninin çevresi minimum $10+8+3=21$ olur.