$$5a+6b+7c=1$$ olmak üzere $$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}$$ ifadesinin en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Question

$a,b,c$ pozitif reel sayılar , $$5a+6b+7c=1$$ olmak üzere   $$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}$$ ifadesinin en küçük  tam sayı  değeri kaçtır?

Answer 1

$<,>$ iç çarpımı göstermek üzere $$<X,Y>\le |X|\cdot |Y|$$ skaler çarpım eşitsizliğini kullanalım.

Burada vektörleri $X=\left(\sqrt{\dfrac2a},\sqrt{\dfrac3b},\sqrt{\dfrac4c}\right)$   ve  $Y=\left(\sqrt{5a},\sqrt{6b},\sqrt{7c}\right)$ alırsak $$\left(\left(\sqrt{\frac2a},\sqrt{\frac3b},\sqrt{\frac4c}\right)\cdot \left(\sqrt{5a},\sqrt{6b},\sqrt{7c}\right)\right)^2\le \left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}\right)(5a+6b+7c)$$   $$(\sqrt{18}+\sqrt{28}+\sqrt{10})^2\le \dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}$$   $$161,093\le \dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}$$   $$\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}\right)_{min}=162$$ bulunur.

Answer 2

Çözümde Cauchy-Schwartz eşitsizliğinin bir türü olan ve faydalı eşitsizlik, Sedrakyans eşitsizliği, Titu lemma veya Bergström eşitsizliği olarak bilinen $$\sum_{n=1}^{n}\dfrac{x_i^2}{a_i}\ge\dfrac{(\sum_{n=1}^{n}x_i)^2}{\sum_{n=1}^{n}a_i}$$ eşitsizliğini de kullanabiliriz. Burada $x_i\in\mathbb{R}$ ve $a_i\in\mathbb{R^+}$ kümelerine aittir. Buna göre $$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}=\dfrac{10}{5a}+\dfrac{18}{6b}+\dfrac{28}{7c}\overbrace{\geq}^{Bergström} \dfrac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{18}+\sqrt{28}\right)^2}{5a+6b+7c}=\left(\sqrt{10}+\sqrt{18}+\sqrt{28}\right)^2$$
olarak bulunur.

Answer 3

AO-GO kullanılarak yapılan bir çözüm: $$(5a+6b+7c)\cdot (\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c})=56+(\dfrac{15a}{b}+\dfrac{12b}{a})+(\dfrac{20a}{c}+\dfrac{14c}{a})+(\dfrac{24b}{c}+\dfrac{21c}{b})$$    $$\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c}\ge 56+12\sqrt 5+4\sqrt 70+12\sqrt 14\cong161,19$$   $$(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{4}{c})_{min}=162$$