Karenin alanını bulunuz

Question

Aşağıdaki şekilde görülen, kenar uzunlukları belirtilen üçgenin içine çizilen (Köşeleri üçgenin kenarları üzerinde olan) karenin alanını bulunuz.

Answer 1

(1.1) $6$ olan köşeye dik indirirsek, ikiz kenarlık gereği $3$e$3$ olarak ayrılır ve dikme $4$ gelir.
(1.2) Üçgenin tabandaki $5$e dik indirirsek bu dikin uzunluğu, üçgenin alanı gereği, $4.8$ olur. $\color{gray}{(6\cdot 4=5\cdot 4.8)}$

(2.1) Karenin üst kenarına $a$ diyelim.
(2.2) Paralel ve ikiz kenarlık gereği sol $5$ üstten alta $a$ya$(5-a)$ olarak ayrılır. 

(3.1) Sol alttaki dik üçgen ile (1.2) ile elde ettiğimiz dik ile gelecek (solda kalan) dik üçgenin benzerliğini kullanırsak

$$\dfrac{5}{4.8}=\dfrac{5-a}{a}\iff \dfrac{9.8}{4.8}=\dfrac{5}{a} \iff a=\dfrac{5\cdot 4.8}{9.8}$$ eşitliği gelir. 
(3.2) Buradan $a=120/49$ gelir ve karenin alanı $(120/49)^2$ olur.

Answer 2

Karenin bir kenarı $a$ olsun. Açı hesabından karenin üstündeki üçgen ikizkenar olur. Bu üçgen ile ikizkenar üçgenin benzerliğinden bu üçgenin taban (eşit kenarlar haricindeki kenarı) uzunluğu $\dfrac{6a}{5}$ bulunur. Bu üçgenin tepesinden (eşit kenarların kesim noktası) tabanına indirilen dikme ile $\dfrac{3a}{5},\dfrac{4a}{5},\dfrac{5a}{5}$ dik üçgeni oluşur.  Bu üçgen ile sağ alttaki dik üçgenin benzerliği kullanılarak hipotenüs uzunluğu $\dfrac{5a}{4}$ bulunur. Büyük üçgenin taban uzunluğundan $$6=\dfrac{6a}{5}+\dfrac{5a}{4}$$   $a=\dfrac{120}{49}$  olur.