Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
116 kez görüntülendi
Kategoriyi lisans seçtim ama aslında ortaöğretim bile olabilir. Geçen gün karşıma çıktı, hoşuma gitti. Şu denklemin çözümlerini non-negatif tamsayı çözümlerini bulunuz:

$$ x^3-15x^2+75x +27y^3 = 341$$
Lisans Matematik kategorisinde (2.5k puan) tarafından  | 116 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$x=u+5$ dersek $$u^3+(3y)^3=6^3$$ olur.

  • $y=1$ için $u$ ve $x$ tam sayı değil.
  • $y=2$ için $u=0$ ve $x=5$ olur.
  • $y\ge 3$ için $x$ değerleri negatif olur.

Dolayısıyla biricik pozitif çözüm $(5,2)$ olur.

__________________________________________________________

Cevabı biraz ilerletirsek: tam sayı çözümü için $3\mid u$ sağlanmalı. $u=3z$ yazarsak $$z^3+y^3=2^3$$ olmalı. Negatif olmayan tam sayı çözümleri $(2,0)$ ve $(0,2)$ olur. İkisi aynı anda negatif olamaz. Biri pozitif ve biri negatif ise küp farkı gelir ve küp sıralaması farkı dramatik olarak açıldığından ($1,8,27,64,\ldots$) sonucun $8$ olacağı bir küp farkının olmayacağını söylemek kolay.

(25.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Benim soruyu sevmemin sebebi: istenilen cevabın Fermat'nın Son Teoremine gönderme yapması.

$u^3+(3y)^3 = 6^3$ denkleminden $u \leq 0$ (yani $x \leq 5$) ya da $y \leq 0$ olması gerektiğini görüyoruz
O zaman sıradaki sorum sana gelsin.
$(x-5)^3+27(y-2)(y^2+2y+4)=0$   eşitliğinden $(5,2)$ nin bir çözüm olduğu görülüyor. Negatif olmayan çözümlerden $(11,0)$ da olmalı.
Çözümün ikinci kısmında var: $(2,0) \mapsto (6,0) \mapsto (11,0)$ .
Senin yazdığın gibi olan hali ile başka çözümlerin olmayacağını söylemek direkt gözükmüyor gibi.
Evet, bu haliyle başka çözüm olup olmadığını göremiyorum.
20,218 soru
21,751 cevap
73,351 yorum
1,983,241 kullanıcı