$d_1$ ve $d_2$ metrikleri düzgün denk midir?

Question

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $d_1(x,y):=\left|{x}-{y}\right|$ ve $d_2(x,y):=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$ kuralları ile verilen $d_1$ ve $d_2$ metrikleri düzgün denk midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Comments

Düzgün denk tanımı şu şekildedir:

$(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar olsun.

$d_1\overset{D}{\sim} d_2:\Leftrightarrow(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X )(d_1(x,y)<\delta \Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)(d_2(x,y)<\delta \Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon) \dots (*)$

Şimdi ilk kısım olan $d_1(x,y)<\delta \Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon$ olduğunu gösterelim.

Her $0<\epsilon<1$ için $\delta:=\frac{\epsilon}{1- \epsilon} >0$ seçilirse her $x,y \in \mathbb{R}$ için

$d_1(x,y)=|x-y|<\delta \Rightarrow d_2(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}<\frac{\delta}{1+\delta}=\frac{\frac{\epsilon}{1-\epsilon}}{1+\frac{\epsilon}{1-\epsilon}}=\frac{\epsilon}{1-\epsilon}\frac{1-\epsilon}{1}=\epsilon$

koşulu sağlanır.

Şimdi de ikinci kısım olan $d_2(x,y)<\delta \Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon$ olduğunu gösterelim.

Her $\epsilon>0$ için $\delta:=\frac{\epsilon}{1+ \epsilon} >0$ seçilirse her $x,y \in \mathbb{R}$ için

$d_2(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}<\delta \Rightarrow d_1(x,y)=|x-y|<\frac{\delta}{1-\delta}=\frac{\frac{\epsilon}{1+\epsilon}}{1-\frac{\epsilon}{1+\epsilon}}=\frac{\epsilon}{1+\epsilon}\frac{1+\epsilon}{1}=\epsilon$

koşulu sağlanır.

O halde her $\epsilon>0$ için öyle bir $\delta>0$ vardır her $x,y \in \mathbb{R}$ için

$d_1(x,y)<\delta \Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon$

ve

$d_2(x,y)<\delta \Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon$

koşulları sağlanır. Yani  $(*)$ önermesi doğru yani $d_1\overset{D}{\sim} d_2.$

---

Şurada bir sorun var: (EK: Çıkarım doğru, ama biraz açıklama olsa iyi olur)
$d_1(x,y)<\delta \Rightarrow d_2(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}<\frac{\delta}{1+\delta}$
$A<B,\ C<D$ dan $\frac AC<\frac BD$ sonucu çıkaramayız (başka bir nedeni var).

Answer 1

Tanım: $(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar olsun. Eğer
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X )(d_1(x,y)<\delta \Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)(d_2(x,y)<\delta \Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)\ldots (*)$$ önermesi doğru ise o zaman $d_1$ ve $d_2$ metrikleri düzgün denktir denir ve $d_1\overset{D}{\sim} d_2$ ile gösterilir.
 

• Her $\epsilon>0$ için $0<\delta_1\leq \epsilon$ seçilirse her $x,y \in \mathbb{R}$ için $$d_1(x,y)=|x-y|<\delta_1 \Rightarrow d_2(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}\overset{?}{<}\frac{\delta_1}{1+\delta_1} < \delta_1\leq \epsilon$$ koşulu sağlanır.

 

• Her $\epsilon>0$ için $0<\delta_2\leq \frac{\epsilon}{1+ \epsilon}$ seçilirse her $x,y \in \mathbb{R}$ için $$d_2(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}<\delta_2 \Rightarrow d_1(x,y)=|x-y|<\frac{\delta_2}{1-\delta_2}=\frac{\frac{\epsilon}{1+\epsilon}}{1-\frac{\epsilon}{1+\epsilon}}=\frac{\epsilon}{1+\epsilon}\frac{1+\epsilon}{1}=\epsilon$$ koşulu sağlanır.

 

O halde her $\epsilon>0$ için $0<\delta\leq \min\{\delta_1,\delta_2\}$ seçilirse her $x,y \in \mathbb{R}$ için $$(d_1(x,y)<\delta \Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)(d_2(x,y)<\delta \Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)$$ koşulu sağlanır. Yani  $(*)$ önermesi doğru yani $d_1\overset{D}{\sim} d_2$ olur.

Comments

$|x-y|<\delta_1\Rightarrow \frac{|x-y|}{1+|x-y|}<\frac{\delta_1}{1+\delta_1}$ oluşu,
$f(t)=\frac t{1+t}$ fonksiyonunun $(-1,\infty)$ aralığında kesin artan oluşunun bir sonucudur.

EK: Daha basit (yukarıdaki açıklamaya gerek olmadan da) yapılabilir:
$|x-y|<\delta_1\Rightarrow \frac{|x-y|}{1+|x-y|}\leq|x-y|<\delta_1\leq\varepsilon$

---

Yanıtta yer alan "?" işaretinin olduğu yerdeki geçişin gerekçesini Doğan hocam yorumunda açıklamış.