β={(x,y)|x,y∈Z ve x2+y=x+y2} olduğuna göre β denklik bağıntısı mıdır?
∙ β bağıntısının yansıyan olduğunu göstermek için (∀x∈Z)((x,x)∈β) önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
x∈Z olsun. Amacımız (x,x)∈β olduğunu göstermek.
x∈Z⇒x2+x=x+x2 olduğundan (x,x)∈β dır. β yansıyandır.
∙ β bağıntısının simetrik olduğunu göstermek için (∀x,y∈Z)((x,y)∈β⇒(y,x)∈β) önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
x,y∈Z ve (x,y)∈β olsun. Amacımız (y,x)∈β olduğunu göstermek.
(x,y)∈β⇒x2+y=x+y2
⇒y2+x=y+x2
⇒(y,x)∈β dır. O halde β simetriktir.
∙ β bağıntısının geçişken olduğunu göstermek için (∀x,y,z∈Z)[((x,y)∈β ∧(y,z)∈β)⇒(x,z)∈β) önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
x,y,z∈Z , (x,y)∈β ve (y,z)∈β olsun. Amacımız (x,z)∈β olduğunu göstermek.
x2+y=x+y2 (1)
y2+z=y+z2 (2)
(1) ve (2) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa: x2+z=x+z2 elde edilir. Buradan (x,z)∈β dır. O halde β geçişkendir.
Not: Simetrik olduğunu ispatlarken bir adımı atladım gibi geliyor ama bulamadım.