Denklik Bağıntısı

Question

$\mathbb{Z}$'de $\beta=\{(a,b) : 3|(5a+b)\}$ denklik bağıntısı mıdır?

$\bullet$ $\beta$ bağıntısının yansıyan olduğunu göstermek için $$(\forall a \in \mathbb{Z})((a,a)\in\beta )$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$a \in \mathbb{Z}$ olsun. Amacımız $(a,a) \in \beta$ olduğunu göstermek.

$a \in \mathbb{Z}\Rightarrow 3 | (5a+a)\equiv 3| 6a$ her zaman doğrudur. $6a = 3(2a)$

$\bullet$ $\beta$ bağıntısının simetrik  olduğunu göstermek için $$(\forall a,b \in \mathbb{Z})((a,b)\in\beta \Rightarrow (b,a)\in\beta  )$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$a,b \in \mathbb{Z}$ ve $(a,b)\in\beta$ olsun. Amacımız $(b,a)\in\beta$ olduğunu göstermek.

$(a,b)\in\beta \Rightarrow 3 | (5a + b) \Rightarrow 5a+b=3k \ (k \in \mathbb{Z})$

 

 

 

$\bullet$ $\beta$ bağıntısının geçişken olduğunu göstermek için $(\forall a,b,c \in \mathbb{Z})[((a,b)\in\beta \wedge (b,c)\in\beta) \Rightarrow (a,c)\in\beta)]$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$a,b,c \in \mathbb{Z},$ $(a,b)\in\beta$ ve $(b,c)\in\beta$ olsun.  Amacımız $(a,c) \in \beta$ olduğunu göstermek.

$(a,b)\in\beta$ $\Rightarrow$ $3$| $(5a+b)$ $\Rightarrow$ $\exists$ $k \in \mathbb{Z}$ , $5a +b = 3k$

$(b,c)\in\beta$ $\Rightarrow$  $3$| $(5b+c)$ $\Rightarrow$ $\exists$ $m \in \mathbb{Z}$ , $5b +c = 3m$

eşitlikler taraf tarafa topanırsa; $5a+6b+c=3k+3m$

$5a+c=3k+3m-6b$

$5a+c=3(k+m-2b)$ $\Rightarrow$ $k+m-2b \in$ $\mathbb{Z}$ olduğundan $(a,c) \in \beta$ dır. Dolayısıyla $\beta$ geçişkendir.

Not: Simetriklik ispatını tamamlayamadım.

Comments

Simetriklik kısmını (ve diğer kısımları da) daha kolaylaştıran küçük bir hile: $5a$ yerine $6a - a$ yaz.

---

Deneyeceğim.

---

3 her zaman 6a'yi bolecegi icin $3|5a + b \iff 3 | b-a$ oldugunu goreceksin. Bu tam "simetrik" olmasa da simetrik olmaya daha yakin bir ozellik. Isleri daha kolaylastiriyor.

Answer 1

$a,b\in\mathbb{Z}$ ve $(a,b)\in\beta$ olsun. Amacımız senin de yazdığın gibi $(b,a)\in\beta$ yani $3|5b+a$ olduğunu göstermek.

$\left.\begin{array}{rr}(a,b)\in\beta\Rightarrow 3|5a+b\Rightarrow (\exists k_1\in\mathbb{Z})(5a+b=3k_1) \\ \\ a,b\in\mathbb{Z}\Rightarrow (\exists k_2\in\mathbb{Z})((5a+b)+(5b+a)=6(a+b)=3k_2 \end{array}\right\}\Rightarrow$
 
$\Rightarrow (k_2-k_1\in\mathbb{Z})(5b+a=3k_2-3k_1=3(k_2-k_1))$

$\Rightarrow 3|5b+a$

$\Rightarrow (b,a)\in\beta$

elde edilir ki amacımız da buydu zaten.

Comments

Teşekkür ederim hocam.