Aşağıdaki bağıntının bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.

Question

$$\mathcal{A}=\left\{A\Big{|} 0<|A|<\aleph_0\right\}$$ olmak üzere $$\beta=\left\{(A,B)|\left(\exists f\in B^A\right)(f, \text { bijektif})\right\}\subseteq \mathcal{A}\times \mathcal{A}$$ bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısına göre oluşan denklik sınıflarına bir doğal sayı; denklik sınıflarının (doğal sayıların) oluşturduğu oran (bölüm) kümesine de doğal sayılar kümesi diyoruz. Yani 

$$X\in\mathcal{A}\Rightarrow [X]=\{Y|(X,Y)\in\beta\}: \text{Doğal Sayı}$$

$$X/\beta=\{[X]|X\in\mathcal{A}\}: \text{ Doğal Sayılar Kümesi}$$

$$[\{\emptyset\}]=\{\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\},\{\{\{\emptyset\}\}\},\ldots\}=1$$

$$[\{\emptyset,\{\emptyset\}\}]=\{\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\ldots\}=2$$

$$\vdots$$

$$\mathbb{N}:=\mathcal{A}/\beta=\{1,2,3,\ldots\}$$

Bu bilgiler ışığı altında soru şu:

$$+=\left\{(([A],[B]),[A\cup B])\Big{|}A\cap B=\emptyset\right\}\subseteq \mathbb{N}^2\times\mathbb{N}$$ bağıntısının bir fonksiyon oluğunu gösteriniz.

Answer 1

$`` + "$ bağıntısının $\mathbb{N}^2$ kümesinden $\mathbb{N}$ kümesine bir fonksiyon olduğunu gösterebilmek için $$(\forall ([A],[B])\in\mathbb{N}^2)(\exists [E]\in\mathbb{N})((([A],[B]),[E])\in +)\ldots (1)$$ ve $$((([A],[B]),[A\cup B])\in +)((([C],[D]),[C\cup D])\in +)(([A],[B])=([C],[D]))$$$$\Rightarrow$$$$[A\cup B]=[C\cup D]\ldots (2)$$ önermelerinin doğru olduğunu göstermemiz gerekli ve yeterlidir.

İlk olarak $(1)$ nolu önermenin doğru olduğunu gösterelim.

$(1)$ $([A],[B])\in\mathbb{N}^2$ olsun.

$([A],[B])\in\mathbb{N}^2\Rightarrow ([A]\in\mathbb{N})([B]\in\mathbb{N})$

$\hspace{1,8cm}\Rightarrow (A\in\mathcal{A})(B\in\mathcal{A})$

$\hspace{1,8cm}\Rightarrow (0<|A|<\aleph_0)(0<|B|<\aleph_0)$

$\hspace{1,8cm}\Rightarrow 0<|A\cup B|<\aleph_0$

$\hspace{1,8cm}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{A}$

$\hspace{1,8cm}\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow [A\cup B]\in\mathbb{N}  \\ \\  A\cap B=\emptyset  \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists [E]:=[A\cup B]\in\mathbb{N})((([A],[B]),[E])\in +)\ldots (1)$

Şimdi de $(2)$ nolu önermenin doğru olduğunu gösterelim.

$(([A],[B]),[A\cup B])\in +, \ (([C],[D]),[C\cup D])\in + \ \text{ ve } \ ([A],[B])=([C],[D])$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} ([A],[B])=([C],[D])\Rightarrow ([A]=[C])([B]=[D])\Rightarrow (A\sim C)(B\sim D) \\ \\ (([A],[B]),[A\cup B])\in +\Rightarrow A\cap B=\emptyset \\ \\ (([C],[D]),[C\cup D])\in +\Rightarrow C\cap D=\emptyset \end{array}\right\}\Rightarrow A\cup B\sim C\cup D\Rightarrow [A\cup B]=[C\cup D]\ldots (2)$

Dolayısıyla $$(1),(2)\Rightarrow +:\mathbb{N}^2\to\mathbb{N} \text{ fonksiyon}$$ yani 

$$+\subseteq \mathbb{N}^2\times\mathbb{N}$$ bağıntısı $\mathbb{N}^2$'den $\mathbb{N}$'ye bir fonksiyondur. O halde $+$ bağıntısı $\mathbb{N}^2$'den $\mathbb{N}$'ye bir fonksiyon olduğuna göre aynı zamanda -işlem tanımı gereği- bir işlemdir. Bu işleme -özel olarak- doğal sayılarda toplama işlemi denir.