Processing math: 23%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
871 kez görüntülendi

A={A|0<|A|<0} olmak üzere β={(A,B)|(fBA)(f, bijektif)}A×A bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısına göre oluşan denklik sınıflarına bir doğal sayı; denklik sınıflarının (doğal sayıların) oluşturduğu oran (bölüm) kümesine de doğal sayılar kümesi diyoruz. Yani 

XA[X]={Y|(X,Y)β}:Doğal Sayı

X/β={[X]|XA}: Doğal Sayılar Kümesi

[{}]={{},{{}},{{{}}},}=1

[{,{}}]={{,{}},}=2

N:=A/β={1,2,3,}

Bu bilgiler ışığı altında soru şu:

+={(([A],[B]),[AB])|AB=}N2×N bağıntısının bir fonksiyon oluğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 871 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

`` + " bağıntısının \mathbb{N}^2 kümesinden \mathbb{N} kümesine bir fonksiyon olduğunu gösterebilmek için (\forall ([A],[B])\in\mathbb{N}^2)(\exists [E]\in\mathbb{N})((([A],[B]),[E])\in +)\ldots (1) ve ((([A],[B]),[A\cup B])\in +)((([C],[D]),[C\cup D])\in +)(([A],[B])=([C],[D]))\Rightarrow[A\cup B]=[C\cup D]\ldots (2) önermelerinin doğru olduğunu göstermemiz gerekli ve yeterlidir.

İlk olarak (1) nolu önermenin doğru olduğunu gösterelim.

(1) ([A],[B])\in\mathbb{N}^2 olsun.

([A],[B])\in\mathbb{N}^2\Rightarrow ([A]\in\mathbb{N})([B]\in\mathbb{N})
    \hspace{1,8cm}\Rightarrow (A\in\mathcal{A})(B\in\mathcal{A})
    \hspace{1,8cm}\Rightarrow (0<|A|<\aleph_0)(0<|B|<\aleph_0)
    \hspace{1,8cm}\Rightarrow 0<|A\cup B|<\aleph_0
    \hspace{1,8cm}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{A}
    \hspace{1,8cm}\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow [A\cup B]\in\mathbb{N}  \\ \\  A\cap B=\emptyset  \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists [E]:=[A\cup B]\in\mathbb{N})((([A],[B]),[E])\in +)\ldots (1)

Şimdi de (2) nolu önermenin doğru olduğunu gösterelim.

(([A],[B]),[A\cup B])\in +, \ (([C],[D]),[C\cup D])\in + \ \text{ ve } \ ([A],[B])=([C],[D]) olsun.

\left.\begin{array}{rr} ([A],[B])=([C],[D])\Rightarrow ([A]=[C])([B]=[D])\Rightarrow (A\sim C)(B\sim D) \\ \\ (([A],[B]),[A\cup B])\in +\Rightarrow A\cap B=\emptyset \\ \\ (([C],[D]),[C\cup D])\in +\Rightarrow C\cap D=\emptyset \end{array}\right\}\Rightarrow A\cup B\sim C\cup D\Rightarrow [A\cup B]=[C\cup D]\ldots (2)

Dolayısıyla (1),(2)\Rightarrow +:\mathbb{N}^2\to\mathbb{N} \text{ fonksiyon} yani 

+\subseteq \mathbb{N}^2\times\mathbb{N} bağıntısı \mathbb{N}^2'den \mathbb{N}'ye bir fonksiyondur. O halde + bağıntısı \mathbb{N}^2'den \mathbb{N}'ye bir fonksiyon olduğuna göre aynı zamanda -işlem tanımı gereği- bir işlemdir. Bu işleme -özel olarak- doğal sayılarda toplama işlemi denir.

(11.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,094,160 kullanıcı