n∈N, a,b∈Z+ ve OBEB(a,b)=1, b≠0 olmak üzere √n=ab olsun. n=a2b2 ve n bir doğal sayı olduğundan b2=1 den b=1 olmalıdır. Yani n=a2 olur. Bu da tamkare olduğunu ifade eder.
x2−ny2=1 den n=x2−1y2>0→x2−1>0→x2>1 olacaktır. Birden büyük bir tamkarenin bir eksiği hiçbir zaman tamkare olamayacağından dolayı √x2−1 daima bir irrasyonel sayıdır .Yani
n=x2−1y2 den √x2−1y=√n olan √n daima irrasyoneldir.