$n$ pozitif sayisi icin $x^2-ny^2=1$ sartini saglayan oyle $x,y$ pozitif tam sayi ikilisi varsa $\sqrt n$ irasyoneldir.

Question

Gosteriniz: $n$ pozitif sayisi icin $x^2-ny^2=1$ sartini saglayan oyle $x,y$ pozitif tam sayi ikilisi varsa $\sqrt n$ irasyoneldir.

Comments

Nasıl yapılır bilmiyorum ama yeni bir şey öğrendim teşekkür ederim

---

yapilisi da var asagida..

Answer 1

$\sqrt{n}$'in rasyonel olduğunu ve $p,q\in\mathbb{Z}^+$ için $\sqrt{n}=p/q$ olduğunu varsayalım. O halde,

$x^2-ny^2=x^2-\frac{p^2 y^2}{q^2}=\frac{q^2 x^2-p^2 y^2}{q^2}=1$. Yani

$q^2 x^2-p^2 y^2=q^2 \Rightarrow q^2(x^2-1)=p^2 y^2$. İki tarafın da tam kare olması, $x^2-1$'in tam kare olmasını gerektirir fakat bu $x=1$ olmadığı sürece imkansız. $x=1$ durumu da $n=0$'ı gerektireceğinden, çelişki. Demek ki $\sqrt{n}$ irrasyonelmiş.

($x^2-1$ neden tam kare olamaz ($x=1$ durumu dışında)? Diyelim ki bir $a$ tam sayısı için $x^2-1=a^2$. Öyleyse $(x-a)(x+a)=1$ ve $x-a$ ile $x+a$ tam sayı olduğundan bu ikisinin de $1$e eşit olmasını, yani $a$'nın $0$, $x$'in $1$ olmasını gerektirir.)