$k$ fonksiyonunun bir Kuratowski kapanış operatörü olduğunu gösteriniz.

Question

$$k(A):=\bigcap\{\mathbb{R}\setminus (a,b)~ |~ (A\subseteq \mathbb{R}\setminus (a,b))(a,b\in\mathbb{R})\}$$ kuralı ile verilen $$k:2^{\mathbb{R}}\to 2^{\mathbb{R}}$$ fonksiyonunun bir Kuratowski kapanış operatörü olduğunu gösteriniz.

Comments

Murad hocam biraz konuyla alakasız ama hiç kendi kapanış operatörünü tanımlamayı düşündün mü? Muradovski kapanış operatörü deriz?

---

Birlikte tanımlayalım Özgür. Ne dersin? :-)

---

Bu linkte yer alan çalışmamızda iki operatör tanımladık ama Muradovski demedik Özgür :-)

---

Hah, yeni gördüm!

Answer 1

$$k(A):=\bigcap\{\mathbb{R}\setminus (a,b) | (A\subseteq \mathbb{R}\setminus (a,b))(a,b\in\mathbb{R})\}$$ kuralı ile verilen $$k:2^{\mathbb{R}}\to 2^{\mathbb{R}}$$ fonksiyonunun bir Kuratowski kapanış operatörü olduğunu göstermek için aşağıdaki koşulların sağlandığını göstermemiz gerekir. Yani her $A,B\subseteq \mathbb{R}$ için $$k_1) \ k(\emptyset)=\emptyset$$ $$k_2) \ A\subseteq k(A)$$ $$k_3) \ k(A\cup B)=k(A)\cup k(B)$$ $$k_4) \ k(k(A))=k(A)$$ koşullarının sağlandığını göstermemiz gerekir.

 

$k_1)$ $k(\emptyset)=\bigcap\{\mathbb{R}\setminus (a,b)|(\emptyset\subseteq \mathbb{R}\setminus (a,b))(a,b\in\mathbb{R})\}=\emptyset.$

 

$k_2)$ $A\subseteq k(A)$ koşulunun sağlandığı $k$ fonksiyonunun kuralından açık.

 

$k_3)$ Şimdi $A,B\subseteq \mathbb{R}$ olsun. Amacımız $k(A\cup B)=k(A)\cup k(B)$ olduğunu göstermek. Bunun için de $$k(A\cup B)\subseteq k(A)\cup k(B)$$ ve $$k(A)\cup k(B)\subseteq k(A\cup B)$$ olduğunu göstermeliyiz. Bunları bir çırpıda yapacağız.

$\begin{array}{rcl}x\in k(A\cup B) & \overset{(1)}{\Leftrightarrow} & x\in\bigcap\{\mathbb{R}\setminus (a,b)|(A\cup B\subseteq \mathbb{R}\setminus (a,b))(a,b\in\mathbb{R})\} \\ \\ & \overset{(2)}{\Leftrightarrow} & (\forall a,b\in\mathbb{R})(A\cup B\subseteq \mathbb{R}\setminus (a,b)\Rightarrow x\in\mathbb{R}\setminus (a,b)) \\ \\ & \overset{(3)}{\Leftrightarrow} & (\forall a,b\in\mathbb{R})[(A\subseteq \mathbb{R}\setminus (a,b)\Rightarrow x\in\mathbb{R}\setminus (a,b)) \vee (B\subseteq \mathbb{R}\setminus (a,b)\Rightarrow x\in\mathbb{R}\setminus (a,b))] \\ \\ & \overset{(4)}{\Leftrightarrow} & (\forall a,b\in\mathbb{R})(A\subseteq \mathbb{R}\setminus (a,b)\Rightarrow x\in\mathbb{R}\setminus (a,b)) \vee (\forall a,b\in\mathbb{R})(B\subseteq \mathbb{R}\setminus (a,b)\Rightarrow x\in\mathbb{R}\setminus (a,b)) \\ \\ & \overset{(5)}{\Leftrightarrow} & x\in k(A) \vee x\in k(B) \\ \\ & \overset{(6)}{\Leftrightarrow} & x\in k(A)\cup k(B). \end{array}$

 

$k_4)$ Şimdi $A\subseteq \mathbb{R}$ olsun. Amacımız $k(k(A))=k(A)$ olduğunu göstermek. Bunun için de $$k(A)\subseteq k(k(A))$$ ve $$k(k(A))\subseteq k(A)$$ olduğunu göstermeliyiz. $k$ fonksiyonu $(k_3)$ koşulunu sağladığından dolayı $k$ fonksiyonunun sırayı koruyan bir fonksiyon olduğunu görmek zor olmasa gerek. Dolayısıyla

$$A\subseteq \mathbb{R}\Rightarrow A\subseteq k(A)\Rightarrow k(A)\subseteq k(k(A))\ldots (1)$$ elde edilir. Şimdi de kapsamanın diğer yönünü gösterelim. Bunun için de $$x\in k(k(A))\Rightarrow x\in k(A)$$ veya $$x\notin k(A)\Rightarrow x\notin k(k(A))$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz. Biz $2.$ önermenin yani $$x\notin k(A)\Rightarrow x\notin k(k(A))$$ önermesinin doğru olduğunu göstereceğiz.

$x\notin k(A)$ olsun.

$\begin{array}{rcl} x\notin k(A) & \Rightarrow & (\exists a,b\in\mathbb{R})(A\subseteq \mathbb{R}\setminus (a,b))(x\notin \mathbb{R}\setminus (a,b)) \\ \\ & \Rightarrow & (\exists a,b\in\mathbb{R})(k(A)\subseteq k(\mathbb{R}\setminus (a,b))=\mathbb{R}\setminus (a,b))(x\notin \mathbb{R}\setminus (a,b)) \\ \\ & \Rightarrow & x\notin k(k(A)). \end{array}$

 

O halde $k$ fonksiyonu bir Kuratowski kapanış operatörüdür.