$a\in X$ ve $\epsilon>0$ olsun. Amacımız $$\overline{B(a,\epsilon)}=\overset{\sim}{B}(a,\epsilon)$$ olduğunu göstermek. Bunun için de $$\overline{B(a,\epsilon)}\subseteq \overset{\sim}{B}(a,\epsilon)$$ ve $$\overset{\sim}{B}(a,\epsilon)\subseteq \overline{B(a,\epsilon)}$$ olduğunu göstermeliyiz.
$\left.\begin{array}{rr} (a\in X)(\epsilon>0)\Rightarrow \overset{\sim}{B}(a,\epsilon)\in C(X,\tau_{d_{||\cdot ||}})\Rightarrow \overline{\overset{\sim}{B}(a,\epsilon)}=\overset{\sim}{B}(a,\epsilon) \\ \\ (a\in X)(\epsilon>0)\Rightarrow B(a,\epsilon)\subseteq\overset{\sim}{B}(a,\epsilon)\Rightarrow \overline{B(a,\epsilon)}\subseteq\overline{\overset{\sim}{B}(a,\epsilon)}\end{array}\right\}\Rightarrow $
$\Rightarrow \overline{{B}(a,\epsilon)}\subseteq \overset{\sim}{B}(a,\epsilon)\ldots (1)$
Şimdi de $\overset{\sim}{B}(a,\epsilon)\subseteq \overline{{B}(a,\epsilon)}$ olduğunu gösterelim. $y\in \overset{\sim}{B}(a,\epsilon)$ olsun.
$y\in \overset{\sim}{B}(a,\epsilon)\Rightarrow ||a-y||\leq \epsilon\Rightarrow (||a-y||<\epsilon \vee ||a-y||=\epsilon).$
I. DURUM: $||a-y||<\epsilon$ olsun.
$\left.\begin{array}{rr} ||a-y||<\epsilon\Rightarrow y\in B(a,\epsilon) \\ \\ (a\in X)(\epsilon>0)\Rightarrow B(a,\epsilon)\subseteq \overline{B(a,\epsilon)}\end{array}\right\}\Rightarrow y\in \overline{B(a,\epsilon)}$
Dolayısıyla $\overset{\sim}{B}(a,\epsilon) \subseteq \overline{B(a,\epsilon)}.$
II. DURUM: $||a-y||=\epsilon$ olsun.
$\begin{array}{rcl}(a\in X)(\epsilon>0) & \Rightarrow & (\forall r>0)\left(z:=\frac{r}{2\epsilon} a+\left(1-\frac{r}{2\epsilon}\right) y\in B(y,r)\cap B(a,\epsilon)\right) \\ \\ & \Rightarrow & (\forall r>0)(B(y,r)\cap B(a,\epsilon)\neq\emptyset) \\ \\ & \Rightarrow & y\in \overline{B(a,\epsilon)}\end{array}$
(NOT: $||z-y||=\frac{r}{2}<r$ ve $||z-a||=\epsilon-\frac{r}{2}<\epsilon$ olduğundan $z\in B(y,r)\cap B(a,\epsilon)$ olur.)
Dolayısıyla $\overset{\sim}{B}(a,\epsilon) \subseteq \overline{B(a,\epsilon)}.$
Görüldüğü üzere her iki durumda da $$\overset{\sim}{B}(a,\epsilon) \subseteq \overline{B(a,\epsilon)}\ldots (2)$$ elde ettik.
O halde $(1),(2)\Rightarrow \overset{\sim}{B}(a,\epsilon) = \overline{B(a,\epsilon)}.$
NOT: Kullanılan Gösterimler.
$1)$ $B(a,\epsilon):=\{x\in X:||a-x||<\epsilon\}$
$2)$ $\overset{\sim}{B}(a,\epsilon):=\{x\in X:||a-x||\leq\epsilon\}$
$3)$ $d_{||\cdot||}:||\cdot||$ normunun doğurduğu metrik. $(d_{||\cdot||}(x,y):=||x-y||)$
$4)$ $\tau_{d_{||\cdot||}}:=\{A\subseteq X| A, \ d_{||\cdot||}\text{-açık}\}$
$5)$ $C(X,\tau_{d_{||\cdot||}}):=\{A\subseteq X| A, \ d_{||\cdot||}\text{-kapalı}\}$
$6)$ $A, \ d_{||\cdot||}\text{-kapalı}:\Leftrightarrow \setminus A, \ d_{||\cdot||}\text{-açık}$
$7)$ $A, \ d_{||\cdot||}\text{-açık}:\Leftrightarrow (\forall a\in A)(\exists \epsilon>0)(B(a,\epsilon)\subseteq A)$