Bahsettiğiniz gibi bu önerme çift taraflıdır
f konvekstir ⟺∀x,y∈dom(f), f(y)≥(y−x)f′(x)+f(x)
(⟹) 0<α <1 reel sayısı alalım. x ve y'nin f'in tanım kümesinde olduğunu biliyoruz, yani "x+α(y−x)" ifadesinin de f'in tanım kümesinde olduğunu biliyoruz. O halde bu ifade için konveksliğin gerek ve yeter koşulunda bulunan eşitsizliği kullanırsak:
f(x+α(y−x))≤(1−α)f(x)+αf(y)⟶1α[f(x+α(y−x))+αf(x)−f(x)]≤f(y)
f(y)≥f(x+α(y−x))−f(x)α+f(x)
Burada α→0 aldığımızda da şu sonucu görürüz:
limα→0f(x+α(y−x))−f(x)α
β=(y−x)α için ise
limα→0f(x+α(y−x))−f(x)α=limβ→0f(x+β)−f(x)β(y−x)=(y−x)limβ→0f(x+β)−f(x)β=(y−x)f′(x)
ve böylece istediğimiz eşitsizlik elde edilir.
(⟸) x,y farklı değerleri ile 0< α <1 sayısı alındığında ve
z=αx+(1−α)y değeri için elimizdeki eşitsizliği iki farklı şekilde kullandığımızda
f(x)≥f′(z)(x−z)+f(z)
f(y)≥f′(z)(y−z)+f(z)
α∗(1)+(1−α)∗(2)⟶αf(x)+(1−α)f(y)≥[α(x−z)+(1−α)(y−z)]f′(z)+(1−α+α)f(z)=f(z)
Böylece konveksliğin gerek ve yeter koşulunda bulunan
αf(x)+(1−α)f(y)≥f(αx+(1−α)y)
eşitsizliği bulunur, yani f konvekstir.