Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
163 kez görüntülendi
Hatta ve hatta cift taraflidir. Yani bir fonksiyon $f $ her $x,y \in \text{dom($f$)}$ icin

   $f(y) \geq f^\prime(x)(y-x)+f(x)$

ifadesini sagliyorsa, $f$ konvekstir
Lisans Matematik kategorisinde (1.6k puan) tarafından  | 163 kez görüntülendi

Normalde, konveks fonksiyon tanımında türevlenebilme koşulu yoktur. Örneğin gerçel sayılarda tanımlı $f(x)=|x|$ fonksiyonu konveks olup $x=0$ da türevsizdir. (Fonksiyonun tanım kümesinin de konveks küme olması gerektiği gibi ön koşul da vardır.) 

Anlaşılırlık için lise matematik kitaplarında daha sade ve özel bir durum için konveks fonksiyon tanımı verilirdi (şimdi müfredetta yok diye biliyorum). Bir $I$ aralığındaki her noktada ikinci türevi olan bir $f$ fonksiyonu verilsin. Her $x\in I$ için $f''(x)>0$ oluyorsa, $f$ fonksiyonuna $I$ aralığında konvekstir denir, şeklinde bir tanım

Sorunun bu sade tanıma göre sorulduğunu varsayarak çözelim.

Haklisiniz, $f$ in turevlenebilir oldugunu atlamisim. Diger konvekslik sorumda var bu kosul.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Bahsettiğiniz gibi bu önerme çift taraflıdır

$f$ konvekstir $\iff \forall x,y \in dom(\textbf{f})$, $f(y) \geq (y-x)f'(x) + f(x)$

($\Longrightarrow$) $0 < \alpha$ $< 1$  reel sayısı alalım. $x$ ve $y$'nin $f$'in tanım kümesinde olduğunu biliyoruz, yani "$x + \alpha (y-x)$" ifadesinin de $f$'in tanım kümesinde olduğunu biliyoruz. O halde bu ifade için konveksliğin gerek ve yeter koşulunda bulunan eşitsizliği kullanırsak:
\begin{equation*}
 f(x + \alpha(y-x)) \leq  (1-\alpha) f(x) + \alpha f(y) \longrightarrow  \frac{1}{\alpha}[f(x + \alpha(y-x)) + \alpha f(x) - f(x)] \leq f(y)
\end{equation*}
\begin{equation*}
    f(y) \geq \frac{f(x + \alpha(y-x)) - f(x)}{\alpha} + f(x)
\end{equation*}
Burada $\alpha \rightarrow 0$ aldığımızda da şu sonucu görürüz:
\begin{equation*}
    \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{f(x + \alpha(y-x)) - f(x)}{\alpha}
\end{equation*}
$\beta = (y-x)\alpha$ için ise
\begin{equation*}
    \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{f(x + \alpha(y-x)) - f(x)}{\alpha} =  \lim_{\beta \rightarrow 0} \frac{f(x + \beta) - f(x)}{\frac{\beta}{(y-x)}} = (y-x)\lim_{\beta \rightarrow 0} \frac{f(x + \beta) - f(x)}{\beta} = (y-x) f'(x)
\end{equation*}
ve böylece istediğimiz eşitsizlik elde edilir.

($\Longleftarrow$) $x,y$ farklı değerleri ile $0 <$ $\alpha$ $< 1$ sayısı alındığında ve
$z = \alpha x + (1- \alpha)y$ değeri için elimizdeki eşitsizliği iki farklı şekilde kullandığımızda
\begin{equation}
    f(x) \geq f'(z) (x-z) + f(z)
\end{equation}
\begin{equation}
    f(y) \geq f'(z) (y-z) + f(z)
\end{equation}
\begin{equation*}
    \alpha * (1) + (1-\alpha) * (2) \longrightarrow \alpha f(x) + (1-\alpha) f(y) \geq [\alpha(x-z) + (1-\alpha)(y-z)]f'(z) + (1 - \alpha + \alpha)f(z) = f(z)
\end{equation*}
Böylece konveksliğin gerek ve yeter koşulunda bulunan
\begin{equation*}
    \alpha f(x) + (1-\alpha) f(y) \geq f(\alpha x + (1-\alpha)y)
\end{equation*}
eşitsizliği bulunur, yani f konvekstir.
(54 puan) tarafından 
20,205 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,804 kullanıcı