Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
373 kez görüntülendi
$\lim_{x\to 0+} e ^\frac{\ln \left( \frac{\ln(1+\tan 4x)}{4x} \right)}{\tan x}=\lim_{x\to 0+} e ^\frac{ \frac{\ln(1+\tan 4x)}{4x} -1}{x}$

Bir sorunun çözümünde böyle bir geçiş yapılmış  ama nasıl olduğunu anlayamadım. Sol taraftaki $tanx$ nereye gitti ve $-1$ nereden geldi acaba? Yardımcı olur musunuz?
Lisans Matematik kategorisinde (94 puan) tarafından  | 373 kez görüntülendi
$\lim\limits_{x\to0^+}{\tan x\over x}=1$ ve $\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\ln(1+\tan 4x)}{4x}=1$ ve $\lim\limits_{x\to1}{\ln x\over x-1}=1$ (aslında $x\to0$ iken de aynı)
olduğunu gösterebiliyor musun?
L'Hospitalden gösterebilirim hocam.
Bu üçünü (değişken değiştirme de kullanarak) birleştirmeyi dene.
Hocam şimdi anladım. Limit durumunda    $\ln ( \frac{\ln(1+\tan 4x)}{4x})= \frac{\ln(1+\tan 4x)}{4x} -1=0$ olduğundan soldakinin yerine sağdakini yazıyor. Payda da sıfırın çok yakınında $\tan x$  ve $x$  aynı davrandığından birinin yerine diğerini yazıyor. Teşekkür ediyorum.
Biraz daha dikkatli olmalısın. Limiti aynı olan şeyleri birbirinin yerine yazarsan bir sürü yanlış şeyler olur.

Örneğin bir  limitte, ($x\to0$ durumunda) $x$ yerine, aynı limite sahip olan, $x^2$ yazmanın ne kadar yanlış olduğunu tahmin edebilirsin.

Biraz daha kesin doğru şeyler kullanmalısın.
O zaman   $u=\frac{\ln(1+\tan4x)}{4x}$   dersek limit durumunda  $u=\frac{\ln(1+\tan4x)}{4x}\to1$ olduğundan   $\ln u\sim u-1$  ve

 

$\frac{u-1}x=\frac{\ln(1+\tan 4x)-4x}{4x^2}$   olur.

"limit durumunda" ve "$\ln u\sim u-1$" gibi şeyleri çok dikkatli kullanmalıyız.

Örneğin $x\to 0$ iken $x\sim x^2$ (yani limitleri eşit) ama $\lim_{x\to0} {\sin x\over x}\neq \lim_{x\to0} {\sin x^2\over x}$

Onun yerine (Düzelttim):

$\lim_{x\to0}\dfrac{\ln\left(\frac{\ln(1+\tan 4x)}{4x}\right)}{\frac{\ln(1+\tan4x)}{4x}-1}=1$ olduğunu
(Şunu kullanarak gösterebilirsin) kullanmalısın.

Bu soruyla ben de karşılaştım. Hocam son yazdığınız eşitlikte payda kısmında kesir çizgisinin sadece logaritmalı kısımda olması gerekmez mi?
Haklısın alpercay. Orada düzelttim.
20,246 soru
21,768 cevap
73,412 yorum
2,123,085 kullanıcı