Faktoriyellerde Bölme İşlemi

Question

Şunu biliyoruz, $3! \mid 7!$ ve $4! \mid 7!$ ama çarpımlarının $3!  \times 4! \mid 7!$ bölmesi ilginç değil mi? Burada sayılar küçük olduğundan faktoriyel tanımını kullanarak sadeleştirme yöntemiyle gösterebilirim ama sayılar büyüdüğünde?

Kabaca, eğer $a_1+a_2+ \dots + a_n =n$ ise $\frac {n!}{a_1!a_2!\dots a_n!} \in \mathbb N$

Comments

Kombinatorik yaklaşımları bildiğini varsayıyorum.

Answer 1

Faktoriyellerdeki asal kuvvetler üzerine bu bilgiyi* $\lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor\le \lfloor a+b\rfloor$ ile birleştirirsek $a_1!a_2!\cdots a_n!$ içerisindeki herhangi bir asal kuvvetinin $n!$ içindeki kuvvetten küçük eşit olduğunu görebiliriz.

________________________
(*) $p$ asal bir sayi ve $a>0$ bir tam sayi ise  $$ord_p(a!)=\sum\limits_{n \geq 1} \bigg\lfloor \frac a{p^n} \bigg\rfloor.$$