Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
692 kez görüntülendi
Kareli örtüsü olan masaya karelerin kenarıyla aynı uzunlukta bir iğne atılır. İğnenin hiçbir karenin çizgisine değmemesi yani boş alana düşmesi olasılığı nedir? (Masa iğne düşmeyecek şekilde yeterince geniş ve çizgilerin kalınlığı ihmal edilir)
Lisans Matematik kategorisinde (22 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 692 kez görüntülendi

Buffon iğne deneyi nin bir benzeri.

Aynen, türevlenmiş.
Lisans Matematik kategorisi daha uygun olmaz mı?
Tabi olabilir düzeltebiliriz

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

İğnenin rasgele atılmasının, orta noktasının kare içinde rasgele bir nokta olması ve iğnenin karenin bir kenarı ile yaptığı açının (0 ile π arasında) rasgele bir sayı olması anlamında olduğunu (kabul edip) kullanacağız.
    Karenin bir kenarını (işlemleri biraz basitleştirdiği için) 2 birim kabul edebiliriz.


    Şekildeki gibi iğnenin karenin yatay kenarı ile yaptığı açıya θ diyelim. Önce 0θπ2 durumunda olasılığı bulacağız. π2θπ durumunda da olasılık, simetri nedeniyle, aynı olacağından, burada bulduğumuz değeri 2 ile çarpacağız.

Yukarıdaki şekildeki gibi, bir açısı θ, hipotenüsü 2 olan dik üçgenleri çizelim. İğnenin orta noktası bu dik üçgenlerin içinde ise iğne mutlaka karenin bir kenarına değer.
    (İğnenin yatay kenarlar ile yaptığı açı θ olduğunda) Sadece, iğnenin orta noktası, kenarları 22cosθ ve 22sinθ olan (köşeleri, hipotenüslerin orta noktası olan sarı) dikdörtgenin içinde ise iğne kare içinde kalır.
    Bunun olasılığı da (alanların oranı olan) (22cosθ)(22sinθ)4=(1cosθ)(1sinθ) olur.

EK: Dr MG nin uyarısı (teşekkürler) üzerine düzeltme:

Açının, [θ,θ+dθ] aralığında olması olasılığı da dθπ olduğundan:
    0θπ2 durumu için olasılık, π20(1cosθ)(1sinθ)dθπ=π32π olur.
    O zaman istenen olasılık:
    2π20(1cosθ)(1sinθ)dθπ=π3π%4,5


    olur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Hocam bi hata var bence payda da pi olmalı
Evet haklısınız. Ben, iğnenin kenar ile [θ,θ+dθ] aralığında bir açı yapma olasılığını hesaba katmadım.

O da, (dθ değil)  dθπ olacağından, bu cevabın,  π ye bölünmesi gerekiyor.

Şimdi çözümü düzeltiyorum.

Teşekkürler.

Şu soruda ( One Thousand Exercises in Probability S. 31 Soru 4.5.2) da (a=b=r alınca) aynı cevap çıkıyor.

Ya da, iki duruma ayırmadan, olasılık şöyle hesaplanabilir:

π0(1|cosθ|)(1sinθ)dθπ=π3π
Güzel çözüm ve açıklama @DoganDonmez hocam, teşekkürler.
20,293 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,661,851 kullanıcı