İğnenin rasgele atılmasının, orta noktasının kare içinde rasgele bir nokta olması ve iğnenin karenin bir kenarı ile yaptığı açının (0 ile π arasında) rasgele bir sayı olması anlamında olduğunu (kabul edip) kullanacağız.
Karenin bir kenarını (işlemleri biraz basitleştirdiği için) 2 birim kabul edebiliriz.
Şekildeki gibi iğnenin karenin yatay kenarı ile yaptığı açıya θ diyelim. Önce 0≤θ≤π2 durumunda olasılığı bulacağız. π2≤θ≤π durumunda da olasılık, simetri nedeniyle, aynı olacağından, burada bulduğumuz değeri 2 ile çarpacağız.
Yukarıdaki şekildeki gibi, bir açısı θ, hipotenüsü 2 olan dik üçgenleri çizelim. İğnenin orta noktası bu dik üçgenlerin içinde ise iğne mutlaka karenin bir kenarına değer.
(İğnenin yatay kenarlar ile yaptığı açı θ olduğunda) Sadece, iğnenin orta noktası, kenarları 2−2cosθ ve 2−2sinθ olan (köşeleri, hipotenüslerin orta noktası olan sarı) dikdörtgenin içinde ise iğne kare içinde kalır.
Bunun olasılığı da (alanların oranı olan) (2−2cosθ)(2−2sinθ)4=(1−cosθ)(1−sinθ) olur.
EK: Dr MG nin uyarısı (teşekkürler) üzerine düzeltme:
Açının, [θ,θ+dθ] aralığında olması olasılığı da dθπ olduğundan:
0≤θ≤π2 durumu için olasılık, ∫π20(1−cosθ)(1−sinθ)dθπ=π−32π olur.
O zaman istenen olasılık:
2∫π20(1−cosθ)(1−sinθ)dθπ=π−3π≈%4,5
olur.