$36/x+6x^3/y+32y^3$ en küçük değeri

Question

$x,y,z$ pozitif reel sayıları için $$36/x+6x^3/y+32y^3$$ ifadesinin en küçük değeri isteniyor.

AO-GO eşitsziliğini kullanarak $$36/x+6x^3/y+32y^3 \ge36(4x^2y^2)^{1/3}$$ buldum ve sonrasında ilerleyemedim. Burada kök içini nasıl en az yapacağız? Teşekkürler.

Answer 1

$\color{red}{\textbf{Çözüm:}}$ İlk terimi $9$ eş parçaya ve ikinci terimi $3$ eş parçaya ayıralım. (Neden?) Şimdi aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği uygularsak:

$\dfrac{9\cdot \dfrac{4}{x} + 3\cdot \dfrac{2x^3}{y} + 32y^3}{9+3+1} \geq \sqrt[13]{ \left(\dfrac{4}{x}\right)^9 \left(\dfrac{2x^3}{y}\right)^3 32y^3} = \sqrt[13]{2^{26}} = 4$ olup $$\dfrac{36}{x} + \dfrac{6x^3}{y} + 32y^3 \geq 13\cdot 4 = \boxed{52}$$

elde edilir. İstenen minimum değerin gerçekten $52$ olduğunu gösterebilmek için uygun $x,y>0$ sayıları ile bir örnek vermek gereklidir. Eşitlik analizi yapılırsa $\dfrac{4}{x} = \dfrac{2x^3}{y} = 32y^3$ denklemlerinden uygun pozitif değerler elde edilebiliyor.

 

$\color{blue}{\textbf{Not:}}$ Ökkeş Dülgerci hocamın uyarısı ile, $x=1, y= \dfrac{1}{2}$ değerleri için eşitlik sağlandığını aktaralım.

Comments

$x=1, y=\dfrac12$ oluyor.

---

Teşekkürler.