Sorunun Oluşum Aşamaları: Bu kısımdan bahsedersek fikir verici olur. Düzgün çokgenlerdeki birbirine eş olmayan üçgenlerin sayısını veren kod yazımı ile ilgili sorduğum buradaki problemde üretilen ilk fikirlerden biri, üçgenlerin alanlarını karşılaştırma yöntemi idi. Fakat bu yöntemin bir riski var: üçgenler eş olmadığı halde alanları eşit olabilirdi. Aşağıdaki şekilde düzgün 12-gendeki oluşabilecek 12 üçgeni görüyoruz. Bunlardan 4. ve 6. üçgenler eş olmamakla beraber alanları eşit oluyor.

Dolayısıyla, yeni bir soru olarak eşit alanlı üçgen bulma fikri oluştu. n=12 için bir çözüm olduğunu biliyoruz. Daha başka değerlerde de çözüm çıkması için n<6 durumunda "çokgenin etrafında dolaşma" durumunu oluşturacak biçimde biraz daha hikaye yazmak gerekiyordu. Aslında çokgenin kenar uzunluğunun 1 birim olması çok önemli değildir, yürüme hamlelerini daha iyi biçimde açıklamak içindir. Şimdi çözüme geçelim.
Yanıt: 15
Çözüm: n=3 durumunda ABC eşkenar üçgenini çizersek ABF ve ACE eşkenar üçgen olduğu için istenen sağlanır. n=4 veya n=5 durumlarında bir alan eşitliği oluşmadığını görmek kolaydır.
n≥6 olsun. Artık "çokgenin etrafında dolaşma" durumunu oluşmayacaktır. Düzgün çokgeni ABCDEF… ile gösterelim. Yarıçapı R olan çevrel çemberi çizerek her bir kenarı gören çevre açıyı α ile gösterelim. 0<α≤30∘ dir. Elbette m(⌢AB)=2α olduğundan düzgün çokgenin bir dış açı ölçüsü θ=2α dır. m(^AFB)=α, m(^FAB)=4α olur. Üçgenin alanının, kenarlar çarpımının çevrel çemberin yarıçapının 4 katına bölümüne eşit olduğunu bilgisini ve sinüs teoremini kullanarak; Alan(ABF)=2R2sin(α)sin(4α)sin(5α) yazabiliriz. Benzer şekilde Alan(ACE)=2R2sin(2α)sin(2α)sin(4α) olur. Alan(ABF)=Alan(ACE) verildiğinden,
sin(α)sin(4α)sin(5α)=sin(2α)sin(2α)sin(4α)
yazılır. 0<α≤30∘ olduğundan sin(4α)>0 olur. Denklemi sin(4α) ile sadeleştirerek
sin(α)sin(5α)=sin(2α)sin(2α)
yazabiliriz. sin(x)sin(y)=12(cos(a−b)−cos(a+b)) olduğundan
cos(4α)−cos(6α)=cos0−cos(4α)⟹cos(2θ)−cos(3θ)=1−cos(2θ)
olur. cos(2θ)=2cos2(θ)−1 ve cos(3θ)=4cos3(θ)−3cos(θ) özdeşlikleri kullanılır ve x=cos(θ) denirse
4x3−4x2−3x+3=0
denklemi elde edilir. 0<x<1 aralığında bu denklemi çözelim. 4x2(x−1)−3(x−1)=0⟹(x−1)(4x2−3)=0 olup x=cos(θ)=√32 bulunur. θ=30∘ olup çokgenin kenar sayısı n=36030=12 dir.
Böylece n nin alabileceği değerler toplamı 3+12=15 elde edilir.