Question

$n\in\mathbb{N}$ için $8^n+47$'nin hiçbir zaman asal sayı olmadığını gösteriniz.

(Balkan Gençler Matematik Olimpiyatları ($15\frac12$ yaş altı) için kısa listeye alınmış bir soru)

Comments

$n$ çift iken sayı $6k+3$ olarak yazılabildiğinden asal olmadığını görmek kolay. Fakat $n$ tek iken sayı $6k+1$ şeklinde ve bu kalıpta sayının bileşik bir sayı olduğunu göremedim.

---

Birkaç (5-6) tanesini hesaplayınca ne olacağı tahmin edilebiliyor.

---

$n$ çift iken sayı $6k+3$ şeklinde yazılabildiğinden 3 ün katı. $n$ tek iken hesap yapıldığında periyodik olarak 5 ve 13 ün katları oluyor. O zaman mod3 ve mod5 durumlarına bakalım.

Answer 1

$n\in\mathbb{N}$ sayısına $0,1,2,3,4,5,6,7$  değerleri verildiğinde $8^n+47$ ifadesinin sırasıyla $3k,5k,3k,13k,3k,5k,3k,13k,...$  değerlerini aldığını gözlemleyelim.

$n$ çift iken $k\in\mathbb{Z}$  için $8^n+47=3 (mod 6)$ yani $8^n+47=3(2k+1)$ olarak yazılabildiğinden asal değildir.

$n$ nin tek sayı olduğu durumlarda ise $8^n+47$ yukardaki diziden $5$ veya $13$ ün katı olmalı.

Şimdi $n=2k+1$ ve $k$ çift sayı olsun. İfadeyi modülo $5$ te düşünürsek , $$8^n+47=8^{2k+1}+47=64^k.8+47=(-1)^k.3+2=0(mod 5)$$ ve $k$ tek iken ifadeyi modülo $13$'te düşünürsek, $$8^n+47=8^{2k+1}+47=64^k.8+47=(-1)^k.8+8=0(mod 13)$$ elde edileceğinden $n$ sayısının tek olması durumunda da $8^n+47$  asal değildir.