Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
340 kez görüntülendi
Bir tane irrasyonel sayi $x$ secin ve iki tane de rakam $a_1$ ve $a_2$. $x$ sayisinin icinde gecen butun $a_1$ leri $a_2$ ile degistirin. Elimize gecen sayinin irrasyonel olup olmadigi ile ilgilenileyorum.

Acikca su irrasyonel sayi icin $0.101001000100001000001 \cdots [\text{$n$ tane $0$ }]1 [\text{$n+1$ tane $0$}]1 \cdots $ butun sifirlari (birleri) bir (sifir) yaparsam sayi rasyonel olacak.

Icimden bir ses daha "dogal" irrasyonel sayilar icin ($\pi$ , $e$ , $\phi$)  hangi rakami hangisiyle degistirirsem degistireyim sonuc irrasyonel kalacak gibi geliyor. Bunu gostermemin bir yolu var mi
Lisans Matematik kategorisinde (1.6k puan) tarafından  | 340 kez görüntülendi

Tüm irrasyonel sayılarda (10 tabanı yerine başka bir taban kullansak dahi) böyle buna benzer bir işlem (oyun) irrasyonel bir sayıyı, yine irrasyonel bir sayıya (bu işlemin tersi de aynı tür bir işlem olduğu için de, rasyonel bir sayıyı da rasyonel bir sayıya) dönüştürür. Yeni işlem rakamların permütasyonu şeklinde olacak.

Bunun için rasyonel/irrasyonel olmanın kriterini kullanmak yeterlidir:

Bir sayının  ondalık açılımı (başka bir taban için de geçerli) yazıldığında (bir yerden sonra) tekrarlı ise rasyonel, değilse irrasyoneldir.

Bundan daha da yeni işlem için genel bir işlem için ispatı yapalım:

$S_{10}$ :10 elemanlı (elemanlar: 0,1,2,...9)   kümenin permütasyonlarının grubu olsun. (Başka tabanlar için 10 yerine o taban sayısı kullanılacak)

Bir $\sigma\in S_{10}$ alalım.

$\sigma$ nın,  $0-9$ rakamlarının bir permütasyonu olduğunu varsayabiliriz.

$x=b_nb_{n-1}\cdots b_1b_0,a_1a_2\cdots a_n\cdots$ ($a_i,b_i\in\{0,1,2,\ldots9\}$) ($b_nb_{n-1}\cdots b_1b_0,\ x$ in tamsayı kısmı)  irrasyonel sayısını,  

$\sigma(x)={\sigma(b_n)}{\sigma(b_{n-1})}\cdots \sigma(b_0),\sigma(a_1)\sigma(a_2)\cdots\sigma(a_n)\cdots$    sayısına dönüştürsün.

($\sigma$ nın bir tpermütasyon değil $\sigma:\{0,1,\ldots,9\}\to \{0,1,\ldots,9\}$  olması  durumunda, @eloi nin sorusunu elde ederiz)

$\sigma(x)$ sayısının da irrasyonel olduğunu göstereceğiz.

 İddiaya eşdeğer olan: "Eğer $\sigma(x)$ rasyonel ise $x$ de rasyoneldir" önermesini (doğrudan) kanıtlayacağız.

$\sigma(x)$ rasyonel olsun.

O zaman $\forall k\geq m$ için $\sigma(a_{k+n})=\sigma(a_k)$ olacak şekilde $m,n\in\mathbb{N}$ vardır.

Fakat bu durumda (eşitliğin her iki tarafına $\sigma^{-1}$ permütasyonu uygulanarak)

$\forall k\geq m$ için $a_{k+n}=a_k$ elde edilir.

Bu da $x$ in rasyonel olması demektir.

$\sigma^{-1}(\sigma(x))=x$ olduğundan, $x$ rasyonel ise $\sigma(x)$ de rasyonel olur.

(Bazı rasyonel sayıları iki farklı şekilde (örneğin $0,5\bar{0}\cdots=0,4\bar{9}$) periyodik olarak yazabiliriz, seçimimize göre $\sigma(x)$ değişebilir ama rasyonel/irrasyonel olması bundan etkilenmez)

Anladığım kadarıyla 1'i 0'a 0'ı 1'e götürmüyoruz. 1'i 0'a götürüyoruz, 0'a bir şey yapmıyoruz.
$a_1=1$ ve $a_2=2$ seçersem, $1'$'leri $2$ yaptım. Irrasyonel kaldı sayı.
Ben soruyu farklı anlamışım. @Ozgur ün uyardığı gibi, eloi nin sorusundaki işlem permütasyon değil. Cevabı yoruma değiştirdim.

"Doğal" irrasyonel sayı, tanımlaması zor bir kavram.  ("sonsuz kez tekrarlanan rakam sayısı ikiden fazla" gibi?)
Hocam verdiginiz cevap, sordugum sorudan daha guzel olmus. Neye niyet, neye kismet iste.
20,193 soru
21,723 cevap
73,248 yorum
1,866,735 kullanıcı