@albert, senin kullandığın semboller ile tüm olabilecek daire sayılarını bulalım:
(Biraz uzun ama tüm olabilecek daire sayılarını bulacağız, böylece çözümün doğruluğunu da sınamış oluruz)
(a: Kirası 350 ₺ olan dairelerin sayısı, x: Toplam daire sayısı olsun)
Senin de bulduğun gibi:
9x-2a=116 dır.
Bunu düzenlersek:
7x+2(x-a)=116 olur.
(a ve x-a tamsayı olduğu için) 2(x-a)\equiv4\mod7 olur.
Her iki tarafı 4 ile çarpalım:
x-a\equiv 2\mod7 olur.
x-a\geq0 olduğu için, x-a=2,9,16,23,30,\ldots sayılarından birine eşit olmak zorundadır.
Ayrıca, x-a\geq0 olduğu için (7x+2(x-a)=116 eşitiğinden) x\leq{116\over7} den (tamsayı olduğu için) x\leq16 olmalıdır.
a\geq0 olduğu için de x-a\leq16 olmak zorundadır. Öyleyse x-a\in\{2,9,16\} olmalıdır (ayrıca bu değerlerin her biri negatif olmayan bir x değerine karşı gelir).
7x+2(x-a)=116 eşitliğinden, x\in\{12,14,16\} olmak zorundadır.
En büyük x (senin de bulduğun gibi) 16, en küçük x, 12 olur.