@albert, senin kullandığın semboller ile tüm olabilecek daire sayılarını bulalım:
(Biraz uzun ama tüm olabilecek daire sayılarını bulacağız, böylece çözümün doğruluğunu da sınamış oluruz)
($a$: Kirası 350 ₺ olan dairelerin sayısı, $x$: Toplam daire sayısı olsun)
Senin de bulduğun gibi:
$9x-2a=116$ dır.
Bunu düzenlersek:
$7x+2(x-a)=116$ olur.
($a$ ve $x-a$ tamsayı olduğu için) $2(x-a)\equiv4\mod7$ olur.
Her iki tarafı $4$ ile çarpalım:
$x-a\equiv 2\mod7$ olur.
$x-a\geq0$ olduğu için, $x-a=2,9,16,23,30,\ldots$ sayılarından birine eşit olmak zorundadır.
Ayrıca, $x-a\geq0$ olduğu için ($7x+2(x-a)=116$ eşitiğinden) $x\leq{116\over7}$ den (tamsayı olduğu için) $x\leq16$ olmalıdır.
$a\geq0$ olduğu için de $x-a\leq16$ olmak zorundadır. Öyleyse $x-a\in\{2,9,16\}$ olmalıdır (ayrıca bu değerlerin her biri negatif olmayan bir $x$ değerine karşı gelir).
$7x+2(x-a)=116$ eşitliğinden, $x\in\{12,14,16\}$ olmak zorundadır.
En büyük $x$ (senin de bulduğun gibi) $16$, en küçük $x$, $12$ olur.