Bir sayının eşleniği nedir?

Question

Matematikte kullandığımız eşlenik kavramının tam olarak tanımı nedir? Karmaşık sayılar ve köklü sayılar dışında kullanım alanı var mı? Tekliğinden bahsedilebilir mi? Bu sorularımı konu alan bir tartışma bile oldukça işime yarayacaktır. Şimdiden tüm matkafalılara teşekkürler.

Answer 1

Matematiğin farklı dallarında birçok eşlenik tanımının olduğunu görüyoruz(TDK ya göre; matematikte farklı işlemlerle aynı sonuçları elde etme yöntemine eşlenik deniyor. Örneğin 2*4=8=15-7 olduğundan 2*4 ile 15-7 işlemleri biribirinin eşleniğidir, yani farklı ifade edilmelerine rağmen aynı sonucu veriyorlar). Mesela diferensiyel geometride eşlenik (konjuge) tanjant vektör, grup teorisinde eşlenik eleman tanımı var. Sayı kümeleri ele alındığında benim bildiğim fakat kaynağını bilmediğim tanım şöyle: $B\supset A$   ve $x\in B$, $y\in B$   olsun. $x$ ve $y$ sayıları için  $x+y \in A$   ve  $xy\in A$  şartları sağlanıyorsa  $x$ ve $y$  sayıları $B$  kümesine göre birbirinin eşleniğidir. O zaman $A=\mathbb{R}$  ve  $B=\mathbb{C}$   alırsak $x+iy$ sayısının  kompleks sayılarda eşleniği $x-iy$ sayısı olmalıdır. Benzer olarak $A=\mathbb{Q}$  ve $B=\mathbb{R}$ alırsak $x+\sqrt{y}$ sayısının reel sayılarda eşleniği $x-\sqrt{y}$ sayısı olmalıdır. Kuaterniyonlarda böyle bir durum var mı bilemiyorum. Ayrıca bu tanım alt halka ve alt uzay tanımlarını çağrıştırıyor. Aralarında bir ilişki var mı bilmiyorum.

Comments

$a+bi+cj+dk$ kuaterniyonunun eşleniği $a-bi-cj-dk$ imiş.

Answer 2

Emrah Sercan Yılmaz hocanın yanıtı aşağıdadır:

Aşağıda bir elemanın bir cisim üzerinde eşleniklerinin neler olduğunun tanımını ve bunun üzerine birkaç örneği bulabilirsiniz.

Tanım:
$K$ bir cisim ve $L$ de $K$ cisminin bir (cebirsel) yükseltmesi olsun.
$a,\ L$ cisminin bir elemanı ve $f$ de, $a$'nın $K[x]$ içindeki minimal polinomu olsun.
Bu durumda $f$ polinomunun köklerine $a$ elemanının $K$ üzerindeki eşlenikleri deriz.

Örnek 1:
$K=\mathbb{Q}$ ve $a=1+\sqrt 2$ ise
minimal polinomu $x^2-2x-1$ olur ve
kökleri $1+\sqrt 2$ ile $1-\sqrt 2$ olur.

Örnek 2:
$K=\mathbb{R}$ ve $z=a+bi \quad(a,b\in\mathbb{R})$ ise  
minimal polinomu $x^2-2ax+(a^2+b^2)$ olur ve
kökleri $a+bi$ ile $a-bi$ olur.

Örnek 3:
$K=\mathbb{Q}$ ve $a=\sqrt2+\sqrt3$ ise
minimal polinomu $x^4-10x^2+1$ olur ve
kökleri $\sqrt2+\sqrt3$, $\sqrt2-\sqrt3$, $-\sqrt2+\sqrt3$ ile $-\sqrt2-\sqrt3$,olur.

Örnek 4:
$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$  ve $a=\sqrt2+\sqrt3$ ise
minimal polinomu $x^2-2\sqrt2\,x-1$ olur ve
kökleri $\sqrt2+\sqrt3$, ile $\sqrt2-\sqrt3$ olur.

Örnek 5:
$K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$  ve $a=\sqrt2+\sqrt3$ ise
minimal polinomu $x^2-2\sqrt3\,x+1$ olur ve
kökleri $\sqrt3+\sqrt2$ ile $\sqrt3-\sqrt2$ olur.

Comments

Yanıt için teşekkürler Alper hocam ve Sercan hocam. Müsait vakitte $\LaTeX$ ile yazılabilirse, okuması daha kolay ve şık olur.

---

Vakit bulunca düzenleyecektim Lokman hocam. Bu arada Doğan hocam düzenlemiş.Teşekkürler.

Answer 3

Bir karmaşık sayının eşleniğinin ne olduğu ile ilgili iyi yapılmış bir tanım vardır. $z=a+ib$ karmaşık sayısının eşleniği $\overline{z} = a - ib$ olarak tanımlanır. Burada $a, b$ gerçel sayılar ve $i^2 = -1$ dir. Wikipedia'da kompleks eşlenik başlığında tanım ve özellikler verilmiştir.

Karmaşık sayılarla ilgili aşağıdaki özellikleri hatırlayalım. $z = a + ib, w = c+id$ ve bunların eşlenikleri $\overline{z} = a-ib, \overline{w} = c-id$ ise
$$  \overline{z\mp w} = \overline{z}\mp \overline{w} , \quad \overline{z\cdot w} = \overline{z}\cdot \overline{w} , \quad  \overline{z^n} = (\overline{z})^n $$
olur. Burada  $n$ bir pozitif tam sayıdır.

Bunlar ispatı kolay olan özelliklerdir. Aralarında daha zor gibi görünen $n$'e bağlı olan son eşitliği tümevarım ile ispatlayabiliriz.

 

Köklü sayılar ile ilgili olarak ayrı bir sayfada tanım verilmiş: eşlenik (köklü sayılar) Fakat bu sayfadaki tanım belirsizdir ve zaten "taslak" düzeyinde olduğu yazılmış.

Kendim şöyle bir tanımlama yaptım: Her rasyonel sayının eşleniğini kendisi olarak tanımlayalım. Ayrıca $a, b$ rasyonel sayılar ve $b>0$ bir rasyonel sayının karesinden farklı olmak üzere $z = a + \sqrt{b}$ ve $\overline{z} = a- \sqrt{b}$ gerçel sayılarına birbirinin eşleniği diyelim. Bu durumda, $z = a \mp \sqrt{b}$ ve $w = c \mp \sqrt{b} $ gerçel sayıları için de

$$  \overline{z\mp w} = \overline{z}\mp \overline{w} , \quad \overline{z\cdot w} = \overline{z}\cdot \overline{w} , \quad  \overline{z^n} = (\overline{z})^n $$
olur. Burada  $n$ bir pozitif tam sayı, $a, b, c$ rasyonel sayılardır. Elbette, $b>0$ bir rasyonel sayının karesine eşit değildir.

 

$\bullet$ $\overline{z\cdot w}$ için kısmi ispatı yapalım: $\overline{z\cdot w} = \overline{\left(a + \sqrt{b}\right)\left(c + \sqrt{b}\right)} = \overline{ ac + b + \sqrt{b}(a+c)} = ac + b - \sqrt{b}(a+c) = \left(a - \sqrt{b}\right)\left(c - \sqrt{b}\right) = \overline{z}\cdot \overline{w}$.

Kısmi dedim, çünkü $z$ bir rasyonel sayı, $w = c + \sqrt{b} $ veya $z = a - \sqrt{b} $, $w = c + \sqrt{b} $ gibi durumlarda da bu eşitlikler sağlanıyor. Yine $\left(a + \sqrt{b}\right)^n = x + y\sqrt{b}$ ise $\left(a - \sqrt{b}\right)^n = x - y\sqrt{b}$ olması gerektiği de tümevarım ile ispatlanabilir.

 

Bu bilgileri uygulayabileceğimiz, Reel Eşlenik Kök Teoremi diye isimlendirmek istediğim probleme de gönderme yapalım. Bu yazdıklarımızdan sonra, reel eşlenik kök teoremine ikinci bir ispat daha buldum. Bağlantıya bakılabilir.

 

Bunların $\mathbb Q[\sqrt{b}] = \{ a + c\sqrt{b}| \quad a, c \in \mathbb Q \}$, ($b>0$ sabit bir rasyonel sayı ve $b$ bir rasyonel sayının karesine eşit değil) cismiyle az-çok ilgisi olduğunu da düşünebiliriz. (Ne kadar ilgili ben de emin değilim.) Muhtemelen $z, w$ nin alabileceği çeşitli değerler için tüm bu ara basamakları tek bir kavram altında ifade ve ispat eden bir teori geliştirilmiştir. Soyut cebir alanıyla daha fazla ilgilenmiş arkadaşlarımıza/hocalarımıza havale etmek isterim.