karmaşık kökler

Question

merhaba reel katsayılı karmaşık köklü ikinci dereceden denklemin bir kokunu bilirken diger kokü ilk kökün eşlenigi olarak alabilir iken reel katsayılı olmayan bir denklemde neden ikinci kökü direk birinci köke bakarak yazamıyoruz

Comments

Reel katsayılı ikinci dereceden (bilmediğimiz!) denklemin bir kökünü bilince diğer kökünü bulamayız. Örneğin bir kökü 3 olan reel katsayılı ikinci derece bir polinomun diğer kökü nedir?

Reel katsayılı olmayan (ikinci derece) bir denklemde bir kökü ve $x$ in ve $x^2$ nin katsayılarını biliyorsak diğer kökü elbette bulabiliriz.

---

<p> hocam kökler karmaşıksa bulabiliriz
</p>

---

hocam soruyu yanlış sormusum aslı şu

 reel katsayılı karmaşık köklü ikinci dereceden denklemin bir kokunu bilirken diger kokü ilk kökün eşlenigi olarak alabilir iken reel katsayılı olmayan bir denklemde neden ikinci kökü direk birinci kokun eşlenigi plarak alamiyoruZ

---

Şu örneğe bakmak yeter sanırım:

$i,\ x^2-ix=0$ denkleminin  bir köküdür ama, eşleniği $-i$ o denklemin kökü değildir.

---

hocam bir de bisey sorcam x=x derken çözum kumrsini reel sayilar aliyorken neden karmasik sayilari da almıyoruz

Answer 1

$\mathbb{C}$: karmaşık sayılar cismini, $\mathbb{R}$: gerçel sayılar cismini göstersin.

$\sigma:\mathbb{C}\to \mathbb{C},\ \sigma(a+bi)=\overline{a+bi}=a-bi\quad(a,b\in\mathbb{R})$ bir otomorfizmadır (Çarpma ve toplamayı korur ve ayrıca 1-1 ve örtendir) Ayrıca $\sigma(z)=z\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}$

$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ gerçel katsayılı bir polinom,  $z,\ p(x)$ in bir kökü olsun.

$a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0=0$ olur. $\sigma(a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0)=\sigma(0)=0$ olur. $\sigma$ toplama ve çarpmayı koruduğu (ve $\sigma(a_i)=a_i$ olduğu) için,

$a_n\sigma(z)^n+a_{n-1}\sigma(z)^{n-1}+\cdots+a_0=0$ olacağı için, $\sigma(z)$ de $p(x)$ polinomunun bir kökü olur. $z$ gerçel değil ise $\sigma(z)\neq z$ olacağı için $p(x)$ in başka bir kökünü bulmuş oluruz. Eğer ayrıca $p(x)$ ikinci derece ise, diğer kökünü bulmuş oluruz.

Buna benzer şekilde şunu da kolayca görürüz:

$p(x)$ rasyonel ($\mathbb{Q}$) katsayılı, ikinci derece bir polinom ve $\Delta$ ($p(x)$ in diskriminantı) rasyonel bir sayının karesi olmasın (negatif de olabilir) (O zaman $p(x)$ in  rasyonel kökü olmayacaktır). 

Bu durumda $F=\{a+b\sqrt{\Delta}:a,b\in\mathbb{Q}\}\subset\mathbb{C}$ bir cisimdir ve $\sigma(a+b\sqrt{\Delta})=a-b\sqrt{\Delta},\ F$ cisminin bir otomorfizmasıdır ve $\sigma(z)=z\Leftrightarrow z\in\mathbb{Q}$ doğrudur. Yukarıdaki gibi, $z,\ p(x)$ in bir kökü ise $\sigma(z)$ de bir kökü olur. Özel olarak $z\notin\mathbb{Q}$ ise $\sigma(z)$ de $p(x)$ in diğer kökü olacaktır.

(Aslında, burada   $\Delta$ sayısının polinomun diskriminantı olması ya da  $p(x)$ in ikinci derece olması da gerekmez, yalnızca $p(x)$ in bir $F\setminus \mathbb{Q}$ da bir kökü ($z$ diyelim) olması yeterlidir. $\sigma(z),\ p(x)$ in başka bir kökü olacaktır.

Comments

Hocam $\Delta$  negatif olabildiğinde  $p(x)$  in rasyonel kökü olmayacaktır derken neyi kastettiniz? $F$  cismi    $\mathbb{Q}$ kümesinde olduğundan özdeşlikten başka otomorfizması olmaması lazım ( $\mathbb{Q}$ ve $\mathbb{R}$ cisimlerinin  özdeşlikten başka otomorfizması olmadığını okudum). $\sigma$  eşlenik dönüşümü sürekli değilse , karmaşık sayıların  bahsettiğiniz  $\sigma$   dönüşümü ve özdeşlik dışında da otomorfizmaları varmış. 

---

Şunu da vurgulamakta fayda var: Katsayıların rasyonel olduğu verilmemişse, köklerin üzerinde çalıştığımız kümeye göre eşlenik olması gerekmez. Burada  eşlenik kavramını da tartışmak gerekir. Tanımı şöyle biliyorum: $A\subset B$ ve $x\in B$,  $y\in B$ olsun. Eğer  $x+y$   ve  $xy$ sayıları   $A$  nin elemanı ise $x$   ve  $y$    sayılarına $B$  kümesine göre birbirinin eşleniğidir denir.

---

@alpercay

$\Delta<0$ ise $p(x)$ in  gerçel bir kökü bile olmayacaktır.

$\sigma$: sadece $F$ nin bir otomorfizması, tüm $\mathbb{R}$ ye  genişleyemez. ($\Delta>0$ ise  $\mathbb{C}$ ye de genişleyemez)

$\sqrt{\Delta}\notin\mathbb{Q}$ varsayımı olduğu için $F\nsubseteqq\mathbb{Q}$