Değme üçgeninin sınırladığı alan (3)

Question

Kenar uzunlukları $a,b,c$ olan bir $ABC$üçgeninin iç teğet çemberinin kenarlara değme noktaları $D,E,F$olsun. $$\dfrac{3abc}{4(a^3+b^3+c^3)}\le \dfrac{Alan(DEF)}{Alan(ABC)}\le\dfrac{1}{4}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Eşitsizliğin sağ tarafı burada gösterilmişti. $$\frac{A(DEF)} {A(ABC)}=\dfrac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$$  olduğu da şurada gösterilmişti. Öyleyse  $$\frac{A(DEF)} {A(ABC)}=\dfrac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\ge\dfrac{3abc}{4(a^3+b^3+c^3)}$$ olduğu yani $$8(a^3+b^3+c^3)\ge3(a+b)(b+c)(a+c)$$ olduğu gösterilmelidir. Bu son eşitsizlik de şurada kanıtlandı.