Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
394 kez görüntülendi
$\displaystyle\int \frac{1}{\ln x} dx$

çözümünün nasıl yapıldığına ilişkin konuşalım. Nacizane dilimin döndüğü kadar anlatayım. Bir eksiğim olursa lütfen dile getirmekten çekinmeyin ve eklemek istediğiniz bir başka yol olursa lütfen buyrun.

ilk olarak $u=\ln x$ diyerek başlayalım. $u=\ln x \Rightarrow \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x} $ ve $ u=\ln x \Rightarrow e^u=x$ olduğundan $dx=e^u du $ eşitliğini de görmüş oluruz.

ve yardımı dokunacak bir diğer eşitlik ise şu olacaktır;

$e^u= \displaystyle\sum _{n=o} ^{\infty} \dfrac{u^n}{n!}$

yani integrali $u$ türünden yazdığımızda

$\displaystyle\int \dfrac{e^u}{u} du$

olacaktır.

Burada detaylı bir şekilde $e^u$ yerine toplam açılımını yazarsak

$\displaystyle\int \dfrac{1+u+{\dfrac{u^2}{2!}}+\dfrac{u^3}{3!}+\dfrac{u^4}{4!}+...}{u} du$

ve sadeleştirmeyi yaptığımızda

$\displaystyle\int\Big( \frac{1}{u}+1+{\frac{u}{2!}}+\frac{u^2}{3!}+\frac{u^3}{4!}+...\Big)du$

bu şekilde tanıdık bir integral karşımıza çıkar. Bu integrali

$\ln u+u+\dfrac{u^2}{2.2!}+\dfrac{u^3}{3.3!}+\dfrac{u^4}{4.4!}+...$

sonsuza kadar gittiğini rahatlıkla görürüz. Bunu kısaca toplam sembolü altında toplarsak

$\ln u+u+\displaystyle\sum _{n=2} ^{\infty} \frac{u^{n}}{nn!}$

burada son olarak $u$ yerine $\ln x$ yazarsak cevabı bulmuş oluruz.

$\ln x+x+\displaystyle\sum _{n=2} ^{\infty} \frac{x^{n}}{nn!}$

şeklinde cevabı bulmuş oluruz. Hocalarım varsa bir yanlışım bakarsınız ve başka bir yol varsa belirtirseniz çok güzel olur. Teşekkürler
Lisans Matematik kategorisinde (13 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 394 kez görüntülendi
Güzel, sadece son satırda bazı $u$ lar olması gerektiği gibi dönüşmemiş.
Ayrıca, son iki satırda ikinci terimler toplam sembolüne dahil edilebilir, $n=1$ inci terim olarak.
20,239 soru
21,758 cevap
73,398 yorum
2,061,499 kullanıcı