Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
tan(2x)tan(3x) dx belirsiz integralini alınız. (Soruda bir kaç kuralı beraber kullanıyoruz, biraz uğraştırıcı). Kimse cevap eklemezse bir saate cevabı ekleyeceğim.
Lisans Matematik kategorisinde (129 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 1.1k kez görüntülendi
Aslında bir tanx çarpımı ile integral kolaylaşabilir. Bunun gibi düşünerek buradan gelen trigonometrik eşitliği tanx ile bölerek cotxtan2x ve cotxtan3x integralleri ile bulabiliriz.
Çok iyiymiş hocam, tabii ki benim aklıma asla gelmedi, yarım saat içinde nasıl çözdüğümü atacağım(bir saat içinde atmam mümkün olmadı). İsterseniz siz de kendi yönteminizi yazabilirsiniz.
@Sercan hocanın yöntemi için tan(x)tan(2x)tan(3x)=tan(3x)tan(2x)tan(x) bilmek yeterli.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
tan(2x)tan(3x)dx

Bu integrali sinüs ve cosinüs cinsinden yazmak için hesaplarımızı yapalım.

sin(2x)=2sin(x)cos(x)

sin(3x)=sin(x)(4cos2(x)1)

cos(2x)=2cos2(x)1

cos(3x)=cos(x)(4cos2(x)3)

İntegrali bu dönüşümleri kullanarak tekrar yazalım:

2((1cos2(x))(4cos2(x)1)(2cos2(x)1)(4cos2(x)3)dx)

Biraz daha kolay görmek için cos(x)=u diyeceğiz ve sonra bir polinom bölmesi yapacağız. O halde:

(1u2)(4u21)(2u21)(4u23)

Bölmek için düzenleyelim.

4u4+5u218u410u2+3

Bu bölmeyi yaptığımızda:

2(12+12(2u21)(4u23))

=1+1(2u21)(4u23)

Henüz bir sona gelemedik ama geleceğiz, şimdi basit kesirlere ayırıp 3 adet toplam şeklinde yazacağız:

(112cos2(x)1+24cos2(x)3)dx

Bunları ayrı ayrı hesaplayacağız, ilk önce ikincisini hesaplayacağız:

12cos2(x)1dx

Her tarafı cos2(x)'e bölelim.

1cos2(x)21cos2(x)dx

Diyelim ki, t=tan(x) o halde dt=sec2(x)dx ayrıca, t2+1=sec2(x). İntegral kolay bir integrale dönüştü:

11t2dt

arctanh(tan(x))

Diğer integrali okuyucuya bırakıyorum(biraz daha zor.)

Sonuçta integralimiz:

tan(2x)tan(3x)dx=xarctanh(tan(x))+43arctanh(3tan(x))
(129 puan) tarafından 
2cos2x1=cos(2x) olduğu için:

12cos2x1dx=sec(2x)dx=12secudu=12ln|secu+tanu|+C=12ln|sec(2x)+tan(2x)|+C
Aynı şeye gelmiyor mu hocam?
ddxarctahn(tanx)=sec(2x). Değil mi?
Elbette ikisi de aynı fonksiyon.

Ben sadece, secxdx integrali  daha iyi bilinen  (ve tarihsel önemi nedeniyle de bilinmesi gereken) bir integral olduğu için bu çözümü de eklemek istedim.
Tarihsel kısmını açabilir misiniz hocam?
İlginç bir hikayesi var Sercan.

Bir ara yazmak isterim ama format uygun olur mu emin değilim.

İpucu: Mercator un haritaları ile ilgili.
Formata uygun soru halinde hazırlanırsa neden uymasın :)
Matematik tarihi hiç bilmiyorum. Öğrenmeyi de çok istiyorum. Böyle ders gibi değil. Bu gibi hoş bağlantıları olabilecek tarzda.
20,300 soru
21,842 cevap
73,542 yorum
2,743,689 kullanıcı