∫tan(2x)tan(3x)dx
Bu integrali sinüs ve cosinüs cinsinden yazmak için hesaplarımızı yapalım.
sin(2x)=2sin(x)cos(x)
sin(3x)=sin(x)(4cos2(x)−1)
cos(2x)=2cos2(x)−1
cos(3x)=cos(x)(4cos2(x)−3)
İntegrali bu dönüşümleri kullanarak tekrar yazalım:
2(∫(1−cos2(x))(4cos2(x)−1)(2cos2(x)−1)(4cos2(x)−3)dx)
Biraz daha kolay görmek için cos(x)=u diyeceğiz ve sonra bir polinom bölmesi yapacağız. O halde:
(1−u2)(4u2−1)(2u2−1)(4u2−3)
Bölmek için düzenleyelim.
−4u4+5u2−18u4−10u2+3
Bu bölmeyi yaptığımızda:
2(12+12(2u2−1)(4u2−3))
=1+1(2u2−1)(4u2−3)
Henüz bir sona gelemedik ama geleceğiz, şimdi basit kesirlere ayırıp 3 adet toplam şeklinde yazacağız:
∫(−1−12cos2(x)−1+24cos2(x)−3)dx
Bunları ayrı ayrı hesaplayacağız, ilk önce ikincisini hesaplayacağız:
−∫12cos2(x)−1dx
Her tarafı cos2(x)'e bölelim.
−∫1cos2(x)2−1cos2(x)dx
Diyelim ki, t=tan(x) o halde dt=sec2(x)dx ayrıca, t2+1=sec2(x). İntegral kolay bir integrale dönüştü:
−∫11−t2dt
⇒−arctanh(tan(x))
Diğer integrali okuyucuya bırakıyorum(biraz daha zor.)
Sonuçta integralimiz:
∫tan(2x)tan(3x)dx=−x−arctanh(tan(x))+43arctanh(√3tan(x))