Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
275 kez görüntülendi
$$\displaystyle\int \tan (2x) \tan (3x)\  \mathrm{dx}$$ belirsiz integralini alınız. (Soruda bir kaç kuralı beraber kullanıyoruz, biraz uğraştırıcı). Kimse cevap eklemezse bir saate cevabı ekleyeceğim.
Lisans Matematik kategorisinde (129 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 275 kez görüntülendi
Aslında bir $\tan x$ çarpımı ile integral kolaylaşabilir. Bunun gibi düşünerek buradan gelen trigonometrik eşitliği $\tan x$ ile bölerek $\cot x \tan 2x$ ve $\cot x\tan 3x$ integralleri ile bulabiliriz.
Çok iyiymiş hocam, tabii ki benim aklıma asla gelmedi, yarım saat içinde nasıl çözdüğümü atacağım(bir saat içinde atmam mümkün olmadı). İsterseniz siz de kendi yönteminizi yazabilirsiniz.
@Sercan hocanın yöntemi için $\tan(x)\tan(2x)\tan(3x)=\tan(3x)-\tan(2x)-\tan(x)$ bilmek yeterli.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$$\int \tan(2x) \tan(3x) \mathrm{dx}$$

Bu integrali sinüs ve cosinüs cinsinden yazmak için hesaplarımızı yapalım.

$$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$$

$$\sin(3x)=\sin(x)(4cos^2(x)-1)$$

$$\cos(2x)=2cos^2(x)-1$$

$$\cos(3x)=\cos(x)(4cos^2(x)-3)$$

İntegrali bu dönüşümleri kullanarak tekrar yazalım:

$$2\left(\int \dfrac{(1-\cos^2(x))(4\cos^2(x)-1)}{(2\cos^2(x)-1)(4\cos^2(x)-3)}\mathrm{dx}\right)$$

Biraz daha kolay görmek için $\cos(x)=u$ diyeceğiz ve sonra bir polinom bölmesi yapacağız. O halde:

$$\dfrac{(1-u^2)(4u^2-1)}{(2u^2-1)(4u^2-3)}$$

Bölmek için düzenleyelim.

$$\dfrac{-4u^4+5u^2-1}{8u^4-10u^2+3}$$

Bu bölmeyi yaptığımızda:

$$2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2(2u^2-1)(4u^2-3)}\right)$$

$$=1+\dfrac{1}{(2u^2-1)(4u^2-3)}$$

Henüz bir sona gelemedik ama geleceğiz, şimdi basit kesirlere ayırıp 3 adet toplam şeklinde yazacağız:

$$\int\left(-1-\dfrac{1}{2\cos^2(x)-1}+\dfrac{2}{4\cos^2(x)-3} \right)\mathrm{dx}$$

Bunları ayrı ayrı hesaplayacağız, ilk önce ikincisini hesaplayacağız:

$$-\int \dfrac{1}{2\cos^2(x)-1}\mathrm{dx}$$

Her tarafı $\cos^2(x)$'e bölelim.

$$-\int \dfrac{\dfrac{1}{\cos^2(x)}}{2-\dfrac{1}{\cos^2(x)}}\mathrm{dx}$$

Diyelim ki, $t=\tan(x)$ o halde $\mathrm{dt}=\sec^2(x)\mathrm{dx}$ ayrıca, $t^2+1=\sec^2(x)$. İntegral kolay bir integrale dönüştü:

$$-\int \dfrac{1}{1-t^2}\mathrm{dt}$$

$$\Rightarrow-arctanh (\tan(x))$$

Diğer integrali okuyucuya bırakıyorum(biraz daha zor.)

Sonuçta integralimiz:

$$\int \tan(2x) \tan(3x) \mathrm{dx}=-x-arctanh(\tan(x))+\dfrac{4}{3}arctanh(\sqrt{3}\tan(x))$$
(129 puan) tarafından 
$2\cos^2x-1=\cos(2x)$ olduğu için:

$\begin{align*}\int \frac{1}{2\cos^2x-1}\mathrm{dx}&=\int \sec(2x)\mathrm{dx}\\&=\frac12\int\sec u\,\mathrm{du}=\frac12\ln|\sec u+\tan u|+C\\&=\frac12\ln|\sec(2x)+\tan(2x) |+C\end{align*}$
Aynı şeye gelmiyor mu hocam?
$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}arctahn(\tan x )=\sec(2x)$$. Değil mi?
Elbette ikisi de aynı fonksiyon.

Ben sadece, $\int\sec x\,dx$ integrali  daha iyi bilinen  (ve tarihsel önemi nedeniyle de bilinmesi gereken) bir integral olduğu için bu çözümü de eklemek istedim.
Tarihsel kısmını açabilir misiniz hocam?
İlginç bir hikayesi var Sercan.

Bir ara yazmak isterim ama format uygun olur mu emin değilim.

İpucu: Mercator un haritaları ile ilgili.
Formata uygun soru halinde hazırlanırsa neden uymasın :)
Matematik tarihi hiç bilmiyorum. Öğrenmeyi de çok istiyorum. Böyle ders gibi değil. Bu gibi hoş bağlantıları olabilecek tarzda.
19,507 soru
21,235 cevap
71,438 yorum
30,330 kullanıcı