Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
616 kez görüntülendi
Iraksadigini duydum ama nasil gosteririm emin olamadim
Lisans Matematik kategorisinde (1.6k puan) tarafından  | 616 kez görüntülendi
p asal olmasa ne oluyor ki?
Bunun Euler carpim formulu ile bir ispatini biliyorum ama ayrilan kenar cok kucuk :)
yerim dar diyip oynamayi reddetmek matematik dunyasinda cok goruluyor :P

Boyle bir şey var. Belki Haydar'a mail atıp konuşma linkini isteyebilirsin.

2 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Güzel bir soru.

wikipedia daki ($p_n:\ n$ inci  asal sayı olmak üzere)

$(n\geq6)$ için $n(\ln n+\ln \ln n)>p_n>n(\ln n+\ln \ln n-1)$ eşitsizliğini kullanarak (her şey $n\geq6$ için)

$p_n< 2n\ln n$ ve buradan, ${1\over p_n}>{1\over 2n\ln n}$ (EDIT: daha önce ${1\over n}>{1\over 2n\ln n}$ yazmışım onu düzelttim) elde edilir.

Daha sonra da, $\sum {1\over n\ln n}$ (pozitif terimli) serisinin ıraksak oluşundan (integral testi ile kolay), Karşılaştırma Testi kullanarak, 

$\sum {1\over p_n}$ serisinin ıraksak olduğu sonucuna varılır.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Hocam integral testini kullanmadan 1/n.lnn 'in ıraksak olduğunu nasıl elde edebilirim?

Direk karşılaştırma testi işe yaramadı, 1/n ile kıyasladım yine sonuç elde edemedim. Ne ile kıyas yapmalıyım?

belki su isinizi gorur

Karşılaştırma testi çok güçlüdür, fakat, ondan yararlanabilmek için, elimizde, verilen seri ile karşılaştırılabilecek  çok sayıda (karakteri bilinen) seri olmalıdır.

Örneğin: $\sum {1\over n\,\ln n\,\ln(\ln n)}$ serisi ıraksaktır (neden?) ve yeterince büyük $n$ ler için, ${1\over n\ln n}\geq {1\over n\ln n\ln(\ln n)}$ dir

Sadece $p$ -serileri ve geometrik seriler kullanarak bu serinin ıraksak olduğunun Karşılaştırma Testi ile gösterilebileceğini sanmıyorum. @eloi nin önerdiği testi dene.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
Euler once sunu gosterdi: Harmonik seri

 

$H=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}=\displaystyle\prod_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{1-\frac{1}{p}}$  olur.

 

Iki tarafin logaritmasini alalim..

 

$\ln H=\ln \Bigg(\displaystyle\prod_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{1-\frac{1}{p}}\Bigg)=-\ln\Big(1-\dfrac{1}{2}\Big)-\ln\Big(1-\dfrac{1}{3}\Big)-\ln\Big(1-\dfrac{1}{5}\Big)-\dots$    $(1)$

 

$\ln(1+x)$'in Taylor serisisini yazalim.

$\ln (1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}-\dots$

$\ln (1-x)=-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}-\dots$

$-\ln (1-x)=x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}+\dots$  bizim isimize bu yarar. $(1)$ deki sag taraftaki herbir terimi Taylor serisi olarak yazalim..

 

 

$\ln H=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\big(\frac{1}{2}\big)^2}{2}+\dfrac{\big(\frac{1}{2}\big)^3}{3}+\dfrac{\big(\frac{1}{2}\big)^4}{4}+\dots$

$+\dfrac{1}{3}+\dfrac{\big(\frac{1}{3}\big)^2}{2}+\dfrac{\big(\frac{1}{3}\big)^3}{3}+\dfrac{\big(\frac{1}{3}\big)^4}{4}+\dots$

$+\dfrac{1}{5}+\dfrac{\big(\frac{1}{5}\big)^2}{2}+\dfrac{\big(\frac{1}{5}\big)^3}{3}+\dfrac{\big(\frac{1}{5}\big)^4}{4}+\dots$

$\vdots$

Alt alta toplarsak.

$\ln H=\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p^3}+\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p^4}+\dots$

 

Integral Testinden sunu biliyoruz,  $n\geq2$ icin,

 

$\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k^n}\leq\displaystyle\int_1^{\infty}\dfrac{1}{x^n}\,dx=\dfrac{1}{n-1}$

 

$\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p^2}\leq\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}\leq\displaystyle\int_1^{\infty}\dfrac{1}{x^2}\,dx=\dfrac{1}{2-1}=1$

 

$\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p^3}\leq\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}$

 

$\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p^4}\leq\dfrac{1}{4-1}=\dfrac{1}{3}$

 

$\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p^5}\leq\dfrac{1}{5-1}=\dfrac{1}{5}$

$\vdots$

 

$\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p^3}+\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p^4}+\dots$

$\leq\dfrac{1}{2}1+\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{4}+\dots$

$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}+\dots$

$\Bigg(1-\dfrac{1}{2}\Bigg)+\Bigg(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\Bigg)+\Bigg(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\Bigg)+\Bigg(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\Bigg)\dots=1$

 

Boylece

 

$\ln H=\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p}+\underbrace{\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p^3}+\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{p\in \mathbb{P}}\dfrac{1}{p^4}+\dots}_{\leq1}$

 

$H=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}$ Harmonik serisi iraksaktir ve dolayisiyla $\ln H$ iraksaktir. Sol taraf iraksak oldugundan sag taraf da iraksak olur.
(2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Alt alta toplayabiliyor muyuz oyle ?

Buralarda biraz dikkatli olmak gerekir, ıraksak sonsuz bir serinin ve ıraksak sonsuz bir çarpımın "değer"leri ile işlem yapıyoruz.

Benzer işlemleri, sonlu toplam ve sonlu çarpım için yapmak daha sağlıklı olur.

20,217 soru
21,750 cevap
73,348 yorum
1,975,673 kullanıcı